最大公約数 証明

質問

整数(環？)についての証明がわからないので質問します。
証明することは、
p,qを2整数(または数体Kにおけるxの整式)とし、式　pu+qv・・・(1)においてu及びvを整数(Kにおける整式)全体にわたって変ずるものとする。かくして得る整数(整式)の中の最小正の整数(xについての最低次の整式)をdとし、d=pu0+qv0・・・（2）とする。然るときdはp,qの最大公約数である。　です。証明は以下のように書いてあります。
実際d'がp,qの公約数ならば、(2)からd'はdの約数である。他方dはu,vのいかんを問わず常に(1)を割り切っている。何となれば(1)をdで除した剰余をr(rは０に等しくない)
とすれば、
pu+qv=ad+r=a(pu0+qv0)+r つまりp(u-au0)+q(v-av0)=r
ところでｒはdより小なる正整数(dより低次の整式)であるから、上の関係はdが(1)が最小(最低次)であるという仮定に矛盾する。故にu,vのいかんを問わずdは(1)を整除する。今u=1,v=0とおけば(1)はpとなり,u=0,v=1とおけば(1)はqとなるから,dはpをもqをも割り切る。それゆえdはp,qの最大公約数である。
自分は、2*1+3*2＝8などから、8は2と3の最大公約数ではないと思い。何かp,u,q,v
に条件があるのではと考えましたが、整数という条件しか探せませんでした。
剰余をｒとした後の計算と、剰余ｒを仮定すると矛盾するからｒ＝0ということ、ぐらいしかわかりません。ヒントでもよいので教えてくださいお願いします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

良く読みましょう。

取り敢えず有理整数環で考えます。今、p=2, q=3とした時、上のdは、pu+qv = 2u + 3v （ただし、u, vは『整数全体を動く』）の形で書けるものの『中で最小の正の数』とするのですよ（と書いてありますよね？）

繰り返しますが、u, vは「すべての整数の組み合わせ」を考え、そのなかで2u + 3v が正の整数となるもののなかから、「最小のものを取ってくる」のです。2u + 3v（但しu, vは整数）の形で書けるもののなかで、8より小さい正の整数はまだあるでしょう？

一度考えて、分からない事があれば、補足に下さい。

お礼

お返事ありがとうございます。
2*(-1)+3*1=1などは気付けました。具体的な数入れて、しっかりと証明を読むようにします。