2次方程式のx^2の係数aの場合の二つの解

質問

2次方程式のa x^2-x-1=0の異なる二つの解が共にマイナス1から1の間にあるためのaの条件は何でしょうか。

x^2に係数aがついた途端、わからなくなりました。
よろしくお願いします。

回答No.6

f272

私が素直な考えだと思うのはax^2=x+1と変形してy=ax^2とy=x+1の交点を考える方法です。-1から1の間だけを考えれば良いので，y=x+1はx軸の上側にありますから，y=ax^2でa≦0の場合は不適当です。a>0の場合には放物線y=ax^2の開き具合が異なるだけですから，すぐにa>2の場合が問題の意図に合致することがわかります。a=2というのは，y=x+1でx=1のときの点(1,2)をy=ax^2が通る場合です。
まあ，どんなやり方でも答えは出るので，自分の考えやすいやり方で足ればいいのですが...

回答No.5

noname#231363

ANo.4の補足です。

2次関数f(x)は下に凸で、a＜2のとき2次関数g(x)も同じく下に凸であり、
-1/2≦x≦１の範囲において、f(x)＜g(x)であるから、β＞1となります。

また、a＞2のとき2次関数g(x)は上に凸で最大値がg(0)=0であるから、
必然的に-1/2＜α＜β＜1となります。

お礼

グラフを描くことで問題が見えてきました！
ありがとうございます😊

回答No.4

noname#231363

a x^2-x-1=０を次のように変形します。
(a-2)x^2+2x^2-x-1=０
2x^2-x-1=(2-a)x^2

左辺=(2x+1)(x-1)であるから、2-a=0→a=2のとき、異なる二つの解はx=-1/2，1
よって、条件を満たさないので不適

f(x)=2x^2-x-1とおくと、-1/2＜x＜１のとき、f(x)＜0
一方、g(x)=(2-a)x^2(a≠2)とおくと、2-a＞0→a＜2のとき、
f(x)=g(x)を満たす異なる二つの解をα＜βとすると、
g(0)=0（最小値）、g(1)＞0であるから、βが実数解であるとしてもβ＞1となり、条件を満たさないので不適

また、2-a＜0→2＜aのとき、
必然的に-1/2＜α＜β＜1となり、条件を満たすので適

※グラフを描けば、一目瞭然です。

回答No.3

tmppassenger

ちょっと変わった解法として：

a≠0であるから、x^2 = (1/a) (x+1)と変形すると、これはy=x^2とy=(1/a)(x+1)との交点を考えることになる。
ここで、y=(1/a)(x+1)は、aの値に関わらず、常に(-1, 0)を通る直線となり、その傾きは1/aとなる。

従って、y=x^2と、(-1,0)を常に通るy=(1/a)(x+1)のグラフの交点を考えれば、交点が2つあって、その交点のx座標が-1と1との間にあるには、明らかにまず1/a > 0でなければいけない。
（グラフを考えれば分かるが、1/a < 0だと交点のx座標は、明らかに-1より小さいか、もしくは交わらない）

1/a > 0の場合、交点の一つは明らかに-1<x<0にある。もう一つを考えるのに、y=x^2とy=(1/a)(x+1)のもう一つの交点の x座標がちょうど1の時を考えると、これはy=(1/a)(x+1)が(1,1)を通る時だから、a=2である。
グラフから考えれば、y=(1/a)(x+1)の傾きが正で、a=2の時よりも小さい場合に、2つの交点が-1と1との間になるので、求めるものは a>2 である。

y=x^2と、(-1,0) を通る直線を色々と引いてみると、感じがつかめると思います。

お礼

色んな解法を知っておくと後で使えそうです。
ご丁寧にありがとうございました(^.^)

回答No.2

yougamaster

f(x)=a x^2-x-1とおきこのグラフを見ながら考えるとわかりやすいかもです！

１．a>0の場合
y=f(x)のグラフは下に凸なので
a x^2-x-1=0の異なる二つの解が共にマイナス1から1の間にあるためのaの条件は
判別式D>0、
-1<グラフの軸<1
f(-1)>0
f(1)>0
を満たすaの範囲を求めます。

２．a<0の場合
y=f(x)のグラフは上に凸なので
a x^2-x-1=0の異なる二つの解が共にマイナス1から1の間にあるためのaの条件は
判別式D>0、
-1<グラフの軸<1
f(-1)<0
f(1)<0
を満たすaの範囲です。

最後に１．２の両方のａの値の範囲をあわせたもの答えとなるはずです！

お礼

わかりやすい回答ありがとうございました！

回答No.1

info33

a x^2-x-1=0
a≠0
ax^2 -x -1=0
y=f(x)=ax^2 -x -1
軸: x=1/(2a)

aの条件:
f(-1)f(1)=(a(a-2)>0 → a<0,a>2 ...(1)
軸の条件: -1<1/(2a)<1 と(1)より → a<-1/2, a>2 ...(2)
f(1/(2a))f(-1)=(1/(4a) -1/(2a) -1)a= -(a+1/4)<0 → a>-1/4 ...(3)

(2),(3)より
∴a>2 ...(Ans)

お礼

aがマイナスの時とプラスの時に分けて考えると思ってました。
この方法もあるんですね！
早速の回答、ありがとうございます！！