氵斬化式の解き方を教えてください

質問

数学II,Bです
この写真の問題の解き方を教えてください。
解説もお願いします^^;

回答No.6

asuncion

＞(Ans.) a[n]=2^(n+1) -3 (n=1,2,3,4, ...)
ダウト。a[3]以降が違っている。

回答No.5

asuncion

こっちの方がきれいかな？
S[n] = (3^n・(2n-1) + 1) / 4

回答No.4

asuncion

おっとっと。
-2S[n] = 1・3^(1-1) + 1・3^(2-1) + 1・3^(3-1) + ... + 1・3^(n-1) - n・3^n
= 1 + 3 + 9 + ... + 3^(n-1) - n・3^n ... (2)
(2)の右辺の先頭から最後の直前までは、初項1, 公比3の等比数列の第n項までの和。
-2S[n] = (3^n - 1) / 2 - n・3^n
∴S[n] = (2n・3^n + 1 - 3^n) / 4

回答No.3

asuncion

2)
a[1] = 1
a[n+1] = 3(n+1)a[n]/n ... (1)
(1)の両辺を(n+1)で割る。
a[n+1]/(n+1) = 3a[n]/n
b[n] = a[n]/nとおくと、b[n+1] = 3b[n]
数列{b[n]}は初項b[1] = a[1]/1 = 1, 公比3の等比数列。
一般項b[n] = 1・3^(n-1) = 3^(n-1)
a[n] = n・b[n] = n・3^(n-1)
S[n] = 1・3^(1-1) + 2・3^(2-1) + 3・3^(3-1) + ... + n・3^(n-1)
3S[n] = 1・3^(2-1) + 2・3^(3-1) + 3・3^(4-1) + ... + n・3^n
辺辺引いて、
-2S[n] = 1・3^(1-1) + 1・3^(2-1) + 1・3^(3-1) + ... + 1・3^(n-1) - n・3^n
= 1 + 3 + 9 + ... + 3^(n-1) - n・3^n ... (2)
(2)の右辺の先頭から最後の直前までは、初項1, 公比3の等比数列の第n項までの和。
-2S[n] = 3^n - 1 - n・3^n
∴S[n] = (n・3^n + 1 - 3^n) / 2

回答No.2

asuncion

1)
a[1] = 1
a[n+1] = 2a[n] + 3^n ... (1)
(1)の両辺を3^(n+1)で割る。
a[n+1]/(3^(n+1)) = 2a[n]/(3^(n+1)) + 1/3 = (2/3)・a[n]/(3^n) + 1/3
a[n]/(3^n) = b[n]とおくと、b[n+1] = 2b[n]/3 + 1/3 ... (2)
特性方程式α = 2α/3 + 1/3を解いて、α = 1
よって(2)はb[n+1] - 1 = (2/3)・(b[n] - 1)と変形できる。
数列{b[n] - 1}は、初項b[1] - 1= a[1]/(3^1) - 1 = -2/3, 公比2/3の等比数列。
一般項b[n] - 1 = (-2/3)・(2/3)^(n-1) = -((2/3)^n)
b[n] = 1 - ((2/3)^n)
∴a[n] = b[n]・(3^n) = 3^n - 2^n

回答No.1

info33

とりあえず
(1) のみ

a[1]=1
a[n+1]=2a[n]+3
a[n]=2a[n-1]+3
a[n+1]-a[n]=2(a[n]-a[n-1])
=(2^2)(a[n-1]-a[n-2])
=(2^3)(a[n-2]-a[n-3])
= ...
=(2^(n-1))(a[2]-a[1])
=(2^(n-1))(a[2]-1)
=(2^(n-1))(2a[1]+3-1)
=(2^(n-1))(2+3-1)=4*2^(n-1)
=2^(n+1)

a[n]-a[n-1]=2^n
a[n-1]-a[n-2]=2^(n-1)
...
a[2]-a[1]=2^2

a[n]-a[1]=2^n +2^(n-1) + ... +2^2
a[n]-1=(2^2)(2^(n-1) -1)/(2-1)=2^(n+1) -4
a[n]=2^(n+1) -3 (n=2,3,4, ...)
a[1]=1
(Ans.) a[n]=2^(n+1) -3 (n=1,2,3,4, ...)