確率の問題

質問

１等に当たる確率が１千万分の１である宝くじを、
１千万回買った場合、１等に当たる確率は幾つなんでしょうか。教えて下さい。お願いします。
テイラー展開等を使わずにシンプルに解くには・・・。

回答No.4

tomtak · ベストアンサー

当たる確率1/nの宝くじをn回買った場合を考えます。

１度でも当たる確率＝1-(n回外れ続ける確率)
　　　　　　　　　＝1-(1回外れる確率)^n
　　　　　　　　　＝1-(1-1/n)^n

(1-1/n)^n　は、n→∞のとき、

　lim(n→∞)f(n)=1/e

となります。（eは自然対数の底です。自然対数の底の定義よりこうなります。）

＞テイラー展開等を使わずにシンプルに
ということですので、

n＝1千万のとき、(1-1/n)^nは1/eに十分近いとみなして、

１度でも当たる確率＝1-1/e
　　　　　　　　　＝1-1/2.71828
　　　　　　　　　＝0.632

となります。

---------------------------
ちなみに、誤差まで考える場合は、
(1-1/n)^n＝exp{nlog(1-1/n)}と変形して、
log(1-1/n)をテイラー展開します。すると、

(1-1/n)^n=exp(-1-1/2n…)=(1/e)*(1-1/2n+…)

とできるので、1/eからのずれは、せいぜい
(1/e)の2千万分の1倍程度ということが分かります。

お礼

１千万乗の計算の仕方を丁寧に教えていただき、大変助かりました。本当にありがとうございました。

回答No.5

goo_no_suke

大学受験以来、十数年間数学から離れて久しい者です。
記号の使い方等忘れているものも多いので、間違っていたらごめんなさい。（笑）

基本的には＃２の方の回答と同意見です。
宝くじの本数を１ユニット：１千万本とし、これがｎユニット販売されたものと
して計算してみます。

１．ｎ＜１のとき
　　宝くじの販売総数は０～9,999,999枚となり１千万枚購入することが不可能に
　　なり定義に合いません。したがってｎ≧１の場合について検証します。

２．ｎ＝１のとき
　　販売総数は１千万本なので、１千万本購入すれば必ず１等が当たりますので
　　確立は１となります。はずれたら詐欺ですよね。（笑）

３．ｎ＞１のとき
　　販売総数は10^7*ｎ本、一等の本数はｎ本、外れの本数は(10^7*ｎ-ｎ）本と
　　なります。この総数の中から１千万本買う通り数は
　　　　　　　A = (10^7*n)!-(10^7*(n-1))! ・・・(a)
　　この中で外れのみ１千万本買い続ける通り数は
　　　　　　　B = (10^7*n-n)!-(10^7*(n-1)-n)! ・・・(b)
であってるかな？（このあたりちょっと自信なし）

　　よって問題の確立は(a)(b)両式をA,Bとして
　　　　　　　1-(B/A)*10^7
となります。

　　ちなみにｎ＝１のとき、この式は成り立ちません。
　　なぜなら(b)式にn=1を代入すると
　　　　　　 B = (10^7-1)! = 9,999,999!
　　となり１千本買えなくなってしまうからです。

という事で、かなりいい加減な回答ですが、考え方はこんな感じだと思います。

それにしても１ユニット分買っても63％しか当たらない宝くじって・・・
地道に働きます。（笑）

お礼

十数年離れているのにきちんと理論立てて教えて下さい、感激です。日本？のどこかにいる、皆さんのような、親切で優秀な方がすばやく教えて下さるということにインターネットのすごさを実感しました。

回答No.3

space_needle

No.1のspace_needleです。

1000乗は1000万乗の誤りです・・・。

○|￣|＿

よって答えは、63.21%です・・・。

ごめんなさい。

お礼

いち早く回答していただきありがとうございました。
初めてこのサイトを知り、さっそく質問しましたが、こんなにすぐ丁寧に教えていただけて感激しました。

回答No.2

yaksa

「１等に当たる確率が１千万分の１である宝くじを、
１千万回買った」
というのが、１千万回、毎回別の宝くじを買ったってことなら、
(当選確率) = 1-(9999999/1千万)^1千万 = 0.632120577

「同じ宝くじを1千万本買った」んだとすると、
くじの総数がわからないと答えられない。
もし、くじの総数が1千万なら、1千万本くじを買えば、当然、必ず１等に当選するけど。

>テイラー展開等を使わずにシンプルに解くには・・・。
???

お礼

分かりやすく教えていただきありがとうございました。確かに総数が分かりませんね。

回答No.1

space_needle

（1回でも1等に当たる確率） ＝ 1 - （1回も一等に当たらない確率）
です。

一等に当たらない確率＝（9,999,999/10,000,000）の1000乗です。

後は電卓で計算して、0.000099995 ≒ 0.01%
ですね。