一次分数変換の証明について、証明のやり方を教えてく

質問

一次分数変換の証明について、証明のやり方を教えてください

回答No.2

jcpmutura

a,b,c,d,x,y,X,Yは実数
ad-bc>0
z=x+iy
f(z)=Z=X+iY=(az+b)/(cz+d)
z~=zの共役複素数
とすると

f'(z)
=a/(cz+d)-c(az+b)/(cz+d)^2
={a(cz+d)-c(az+b)}/(cz+d)^2
=(ad-bc)/(cz+d)^2
だから
|f'(z)|=|ad-bc|/|cz+d|^2…(1)

f(z)
=(az+b)(cz~+d)/|cz+d|^2
=(ac|z|^2+adz+bcz~+bd)/|cz+d|^2
={ac|z|^2+ad(x+iy)+bc(x-iy)+bd}/|cz+d|^2
={ac|z|^2+(ad+bc)x+bd+(ad-bc)iy)}/|cz+d|^2
=X+iY
だから
Y=(ad-bc)y/|cz+d|^2
↓両辺の絶対値をとると
|Y|=|ad-bc||y|/|cz+d|^2
これと(1)から
|Y|=|y||f'(z)|
↓dZ/dz=f'(z)だから
|Y|=|y||dZ/dz|
↓|dZ/dz|=|dZ|/|dz|だから
|Y|=|y||dZ|/|dz|
↓両辺に|dz|/|yY|をかけると
|dz|/|y|=|dZ|/|Y|
↓両辺を2乗すると
|dz|^2/y^2=|dZ|^2/Y^2
↓|dz|^2={(dx)^2+(dy)^2}
↓|dZ|^2={(dX)^2+(dY)^2}だから
∴
{(dx)^2+(dy)^2}/y^2={(dX)^2+(dY)^2}/Y^2

fによって(x,y)は(X,Y)に写像されるが
{(dx)^2+(dy)^2}/y^2
の値は保たれる

回答No.1

info222_

画質が悪く問題文が読めないです。