数1 二次関数

質問

写真の問題(384)の解き方を教えてください！
実数解を持たないので判別式D<0となり、
y=x^2+ax+a^2+ab+2を判別式に入れて、

D=a^2-4(a^2+ab+2)<0
がどんなaの値でも成り立つbの値を求めれば良いことまではわかったのですがこの後がわかりません、よろしくお願いします。

回答No.2

noname#227255

試験の際には即判別式だと思いますが、そもそもなぜ判別式なのかということをこの機会に改めて考えて頂くためにも、敢えて遠回りしてみました。

D=a^2-4(a^2+ab+2)=-3a^2-4ab-8＜0
これから、3a^2+4ab+8＞0
この左辺をaの二次関数とみて、ここでもまた判別式というのが定石だと思いますが、判別式は、下に凸の二次関数の最小値、上に凸の二次関数の最大値に基づくものですので、次のように式変形するとイメージしやすいと思います。
3a^2+4ab+8
=3(a^2+4ab/3)+8
=3{(a+2b/3)^2-4b^2/9}+8
=3(a+2b/3)^2-4b^2/3+8
3(a+2b/3)^2≧0であるから、-4b^2/3+8＞0であればいいです。
-4b^2/3+8＞0から、
b^2-6＜0
(b+√6)(b-√6)＜0
よって、-√6＜b＜√6

回答No.1

info222_

>D=a^2-4(a^2+ab+2)<0
>どんなaの値でも成り立つ

D=-(3a^2+4ba+8)<0
3a^2+4ba+8>0
このaの不等式がどんなaの値でも成立すればよい。

a^2 の係数=3>0なので
判別式D/4=(2b)^2-3*8=4(b^2-6)<0
が成立すればよい。
b^2-6<0
∴ -√6<b<√6 ... (Ans.)

このbの不等式がどんなaの値でも成り立すればよい。