重複組合せH[n,r]の性質について
n 種のものから、重複 (repetition) を許して r 個のものを取り出す組合せというものを考えて、n から r とる重複組合せと呼び、その総数を H[n,r] と表す。
H[n,r]=C[n+r-1,r]
ここまでは分かりますが、次の性質が分かりません。
どなたか説明をいただけないでしょうか?
(1 + x + x^2 + x^3 + … )^nのx^rの係数は
C[n,0] + C[n+1,1]+ C[n+2,2] + … + C[n+r,r]
= C[n+r+1,r]
= H[n,r]
となる。すなわち、
(1 + x + x^2 + x^3 + … )^n
= H[n,0] + H[n,1]x + H[n,2]x^2 + H[n,3]x^3 + …
また、
H[n,r]=(-1)^r C[-n,r]
は多重集合係数あるいは負の二項係数とも呼ばれ、
(1-x)^(-n) = Σ[r=0,∞]H[n,r]x^r
お礼
ありがとうございます