置換積分が最も威力を発揮する例について

質問

置換積分法を使わないと解決しない例というものもあるのでしょうか。

回答No.3

noname#222520 · ベストアンサー

ANo.１の補足です。

先ずは、訂正から。
上から3行目
誤：「x軸およびy軸の関して対称であるから」→
正：「x軸およびy軸に関して対称であるから」

円：x^2+y^2=1の周上にある任意の点は、（cosθ，sinθ）（0≦θ＜2π）と表せます。
三平方の定理から、cos^2θ+sin^2θ=1^2
sin^2θ=1-cos^2θ
y=√(1-cos^2θ)（第1象限にあるとき）
よって、この場合にはx=cosθ（円の半径をrとすると、一般的にはx=rcosθ）とおくと、うまく置換積分できることがわかります。（この置換に気付くことは容易です。）
おそらくは、このように考えてうまく行ったのだと思われます。

例えば、y=√(1-x^2)において、x^2=tとおくと、
ｘ：0→1のときt：0→1であり、ここにπは出てきません。
2x=dt/dx
dx= (1/2x)dt
この場合には、dxにxが含まれるので、さらにx^2=tからxを消去すると、
∫[0→1]√(1-x^2)dx
=∫[0→1]√(1-t) /(2x) dt
=∫[0→1]√(1-t) /(2√t)dt
=2∫[0→1]√{(1-t) /t}dt
となり、このままではtについて積分することができません。

また、y=√(1-x^2)において、1-x^2=tとおいても、
ｘ：0→1のときt：1→ 0 であり、ここにもπは出てきません。
-2x=dt/dx
dx=(-1/2x)dt
となって、dxにxが含まれるので同様です。

さらに、y=√(1-x^2)において、√(1-x^2)=tとおと、
ｘ：0→1のときt：1→ 0 であり、ここにもπは出てきません。
1-x^2=t^2
-2x=2tdt/dx
dx=(-t/x)dt
となって、dxにxが含まれるので同様です。

以上のように試行錯誤した結果、三角関数を用いて置換しない限り、積分することはできないとの結論に至ったものと考えられます。
なお、πは三角関数を用いて置換した結果として出てくるものですが、小学校の算数で学習したように、必ずπが出てくる筈だとの前提がありました。
（積分区間がラジアン表示でない限り、πは出てきません。）
仮に、y=√(1-x^2)をこのまま積分できるとすると、πがどこにも出てきません。
つまり、三角関数を用いて置換した結果が正しいのであれば、y=√(1-x^2)をこのまま積分することは、不可能だということになります。
なお、三角関数を用いて置換した結果は否定できません。
何故ならば、単にπが出てくるからではなく、考え方が理にかなっているからです。

ここからは余談です。
円：x^2+y^2=r^2の面積Sは、直角を挟む2辺の長さがrの直角二等辺三角形4個分の面積r^2/2*4=2r^2よりも大きく、1辺の長さがrの正方形4個分の面積r^2*4=4r^2よりも小さく、S=kr^2（kは定数）の形に表せることがわかります。
これから、2r^2＜kr^2＜4r^2→2＜k＜4
結果として、k=π≒3.14になる訳ですが、πが出てくるかどうか以前の問題として、円の面積を求める積分の結果は、kr^2（2＜k＜4）の形にならなければなりません。
つまり、このような結果が導き出されない考え方（計算）は、誤りであるということになります。
具体的には、結果にr^2が出てこなければ論外であり、たとえr^2が出てきたとしても、5r^2では考え方（計算）が誤っているということです。

お礼

大変有り難いご教示でした。少しでも先に進めるように勉強させていただきます。

回答No.4

noname#222520

ANo.3の訂正です。

「例えば、y=√(1-x^2)において、x^2=tとおくと」の段
下から2行目
誤：「2∫[0→1]√{(1-t) /t}dt」→
正：「1/2∫[0→1]√{(1-t) /t}dt」

回答No.2

nihonsumire

解決しないかどうか、深く考えたことはないですね。ひとつのテニックだと思ってましたが。あなたなら、下記の初歩的な積分をどう解きますか。

∫√x+1(x+2)dx 注）ルートの中にx+1です

もうひとつ、０から１までの定積分です。
∫dx/(1+x^2) 注）分母が1+x^2です

回答No.1

noname#222520

円：x^2+y^2=r^2の面積はπr^2ですが、これは円の方程式を眺めているだけでは出てきません。
この円は、x軸およびy軸の関して対称であるから、この円の面積は、第1象限の部分の面積を4倍します。
求める面積Sは、S=4∫[0→r]ydx
x^2+y^2=r^2からy=√(r^2-x^2)（第1象限）
x=rcosθとおくとdx/dθ=-rsinθ→dx=(-rsinθ)dθ
x：0→rのときθ：π/2→0であるから、
S
=4∫[π/2→0]{√(r^2-r^2cos^2θ)}・(-rsinθ)dθ
=4∫[π/2→0]rsinθ・(-rsinθ)dθ
=4r^2∫[0→π/2]sin^2θdθ
=4r^2∫[0→π/2]{(1-cos2θ)/2}dθ
=2r^2[θ-(sin2θ)/2][0→π/2]
=πr^2

以上のように、置換積分法によって、積分区間にπが出てくるようにしないと、円の面積は求められません。

お礼

y＝√１－ｘ＾２をそのままでは積分できないことがわかったのはどうしてなのでしょうか。円の面積が置換積分でしか算出できないことがわかったのは結果論なのでしょうか。πが問題になった理由も知りたいと思いました。三角関数が絶対必要なのですね。