フェルマーの最終定理n=3の場合の証明
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http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou/toukou31.html
のフェルマーの最終定理n=3の場合の証明
で
b=3u(t^2-u^2)
bは奇数だからuは奇数となぜいえるのでしょうか
uが整数であればuは奇数といえますが,
a+ib√3=(t+iu√3)^3
a-ib√3=(t-iu√3)^3
と置くとしているだけで
そのような整数t,uが存在するといえるのでしょうか?
(なおa,3bは互いに素な整数で
a^2+3b^2=c^3
となる整数cがあると仮定します)
整数環Zに
1の3乗根ω=(-1+i√3)/2を付加した拡大環を
Z(ω)={j+kω|j,k∈Z}
整数環Zに√-3=i√3を付加した拡大環を
Z(√-3)={t+iu√3|t,u∈Z}
とすると
Z(√-3)⊂Z(ω)
Z(√-3)では素因子分解の一意性は成り立ちませんが
Z(ω)では(単数の違いを除いて)素因子分解の一意性は成り立ちます。
Z(ω)の素元v,wに対して
v=(単数)*wのときw=((単数)^{-1})vとなるので
v,wは同一の素因子とみなします。
ただしZ(ω)の単数(乗法逆元をもつ元)は
±1,±ω,1+ω=-ω^2,ω^2=-1-ω
の6個となります。
a^2+3b^2=(a+ib√3)(a-ib√3)=c^3
となる整数cがあるとき
aと3bが互いに素なので
(a+ib√3)と(a-ib√3)はZ(ω)で互いに素となって
ω~=ω^2=-1-ωとすると
一意に素因子分解されたcの素因数の内
(a+ib√3)の約数の積を
t+iu√3=j+kω
(a-ib√3)の約数の積を
t-iu√3=j+kω~
とすると
a+ib√3=(t+iu√3)^3=(j+kω)^3
a-ib√3=(t-iu√3)^3=(j+kω~)^3
となります。
t+iu√3=(2j-k+ik√3)/2
t=j-(k/2)
u=k/2
a=t(t+3u)(t-3u)={j-(k/2)}(j+k)(j-2k)
b=3u(t+u)(t-u)=3(k/2)j(j-k)
となって
uは奇数か奇数/2のどちらかで
uが奇数/2ならば
kが奇数
tが奇数/2
とはいえますが,
t,uが整数であると果たしていえるのでしょうか?
お礼
やっぱりそうですかね…