6-12 高校数学の確率の問題です
1回の試行で事象Aの起こる確率はpであってAが起これば2点,起こらなければ1点の得点が与えられる、この試行を繰り返し行うとき、得点が途中で丁度n点となる確立をp[n]とする
ただし、p[0]=1とする
(1)p[n](n>=2)をp[n-1],p[n-2],pで表せ、つぎにp[n]をn,pの式で表せ
(2)得点の合計が途中でn点とならないで2n点となる確率を求めよ
解説(1)最後に1点か2点が加わってn点になるがこの場合分けは排反で、しかもn点になるすべての場合を尽くしているから
p[n]=p[n-1](1-p)+p[n-2]p (n>=2)
ここで方程式x^2=(1-p)x+pの解が1,-pであることに着目して、この漸化式を変形すると
p[n]-p[n-1]=-p(p[n-1]-p[n-2])
p[n]+p・p[n-1]=p[n-1]+p・p[n-2]
よってp[n]-p[n-1]=(-p)^(n-1)(p[1]-p[0])
p[n]-p・p[n-1]=p[1]+p・p[0]
p[0]=1,p[1]=1-pによりp[n]-p[n-1]=(-p)^n
p[n]+p・p[n-1]=1
この2式からp[n]を消去するとp[n-1]={1-(-p)^n}/(1+p)よって
p[n]={1-(-p)^(n+1)}/(1+p) (n>=1であるが、n=0のときもOK)
(2)n点にならないなら、必ずn-1点になるから題意の事象はn-1点になり、つぎにAが起こりn+1点になって、その後の合計がn-1点になるといいかえることができるから、求める確率は
p[n-1]・p・p[n-1]=p[{1-(-p)^n}/(1+p)]^2
研究 p=1/2のとき、p[n]≒2/3となりますが、このとき平均的には1点と2点が交互に加点されると考えられ右図では●●○の繰り返しと考えられることから納得のいく結論です
研究の平均的には1点と2点が交互に加点されると考えられ右図では●●○の繰り返しと考えられる とあるのですが、どういう事を意味しているのか分からないです ●と○の意味も教えてください
お礼
スピーディーに対応頂きありがとうございました！ ベストアンサーにさせて頂きます！