※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：なぜこうなるのか教えてください。）
周期関数のフーリエ展開の解説と理解のポイント
このQ&Aのポイント
周期関数のフーリエ展開についての解説と、理解のポイントを説明します。
フーリエ展開における概念や具体的な計算手順についてわかりやすく解説します。
フーリエ展開の式の変形や関連する概念について、疑問点を解消します。
なぜこう置くのか教えてください。
以下のような問題の解答が理解できないので、教えてください。
問題
区間[－X/2,X/2]を周期とする周期関数のフーリエ展開は次式で与えられることを示しなさい。
↓次式の画像
http://www.fastpic.jp/images.php?file=8628989078.jpg
以前教えていただいた解答は以下の通りなのですが、理解できないところがあります。
解答↓
Xを周期とする周期関数をf(x)
g(t)=f(Xt/(2π))とすると
g(t+2π)=f(X(t+2π)/(2π))=f(Xt/(2π)+X)=f(Xt/(2π))=g(t)
g(t)は2πを周期とする周期関数だから
g(t)のフーリエ展開は
g(t)～{(a_0)/2}+Σ_{n=1～∞}{(a_n)cos(nt)+(b_n)sin(nt)}
a_n=(1/π)∫_{-π～π}g(t)cos(nt)dt
b_n=(1/π)∫_{-π～π}g(t)sin(nt)dt
だから
x=Xt/(2π)とすると
-π<t<π→-X/2<x<X/2
t=2πx/X
dt=(2π/X)dx
∴
f(x)～{(a_0)/2}+Σ_{n=1～∞}{(a_n)cos(2nπx/X)+(b_n)sin(2nπx/X)}
a_n=(2/X)∫_{-X/2～X/2}f(x)cos(2nπx/X)dx
b_n=(2/X)∫_{-X/2～X/2}f(x)sin(2nπx/X)dx
理解できなかったところ
(1)なぜg(t)=f(Xt/(2π))とするのか？その理由。
(2)f(Xt/(2π)+X)=f(Xt/(2π)) これはなぜか。
(3)g(t)は2πを周期とする周期関数と言えるのはなぜか？
(4)x=Xt/(2π)とすると
-π<t<π→-X/2<x<X/2
t=2πx/X
dt=(2π/X)dx
なぜx=Xt/(2π)とおいてこういった計算をするのか。
(5)g(t)～{(a_0)/2}+Σ_{n=1～∞}{(a_n)cos(nt)+(b_n)sin(nt)}
が
f(x)～{(a_0)/2}+Σ_{n=1～∞}{(a_n)cos(2nπx/X)+(b_n)sin(2nπx/X)}
に変更されるのはなぜか。g(t)がf(x)に置き換えられているが、どうしてそうすることができるのか。
以上の5点を教えてください。
お礼
どうもありがとうございました！