四元数、八元数の別の形ってありえますか？
いわゆる超複素数系（特に四元数、八元数）についての質問です。
（通常の）四元数・八元数の定義からすると、３個または７個の
虚数単位を対等・等価に見るため、以下のような性質を満たします。
・四元数の場合、１,２,３番目の虚数単位をそれぞれi,j,kとおくと、
ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=jが成立する。
ここで質問なのですが、
たとえノルム保存の性質が崩れてしまうなどの犠牲があるとしても、
以下の条件を満たすような、通常の定義とは異なる四元数・八元数の
定義・体系というのは代数学的に成立しうるものでしょうか。
・例えば、i^2=-1,j^2=-1,k^2=-1などの性質は成立しても、
ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=jなどの性質は持たない四元数体系
質問は以上です。
ちなみに、何故こんな質問をしたかというと、もともとは、
ある演算の目的から、実数部分と１番目の虚数単位部分だけを
特別扱いでき（通常の複素数として扱える）、２番目以降の虚数
単位部分は１番目までとは代数的性質の異なる付属品的なもの
として扱えるようなことはできないか、と考えたためです。
演算の途中結果を２番目以降の虚数単位の係数に入れて保存し、
後の段階で必要なときに取り出せるということができれば、
数値演算はもとより、理論展開・考察をする上でも便利だし
面白いな、と思ったのです。
通常の四元数の定義だと、ij=kなどの性質があるため、j,kの係数に
保存したい値を入れた後に実数と１番目の虚数iだけを使って計算
しても、j,kの値が自動的に変わってしまいます。
以上です。ご教示よろしくお願いします。
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