数学の問題です。これで合っていますか？
「楕円(x^2)+(2y^2)=2の異なる２接線が直交するとき、その交点Pの軌跡を求めよ」という問の答えとして, 下のような解答を考えましたが, 論理が途中でおかしくなっている気がします.
一般的にはもっとスマートな解き方があるようなのですが, これでも大丈夫なのかどうか意見をください. よろしくお願いします.
（途中計算は省略しました）
--------------------
P(s, t)とおく.
直交する２直線のうち１つを m(x-s)+n(y-t)=0 ・・・(1) とする.
この時、任意のm, nに対してs, tは存在すると考えられる.
i ) m≠0 ∧ n≠0 のとき
n/m=k とすると、直線(1)はy=kx+(t-ks)とおける.
これと楕円(x^2)+(2y^2)=2が接するので,
まずyを消去してxについて整理すると, (1+2k^2)x^2+4k(t-ks)x+2{(t-ks)^2-1}
これの判別式DについてD=0より, D/4={2k(t-ks)}^2-(1+2k^2)(t-ks)^2+2(1+2k^2)=0
⇔(2-s^2)k^2+2stk+(1-t^2)=0・・・(2)
点Pを通り(1)に直交する直線x=-ky+(s+kt) についても同様の操作を施し,
式(1-t^2)k^2-2stk+(2-s^2)=0・・・(3) が得られる.
ここで(2)＋(3)より,
(3-s^2-t^2)k^2+(3-s^2-t^2)=0
任意のkに対してこれは成立するから, kについて恒等式とみて
s^2-t^2=3・・・(4)
これをP(s,t)の満たす式とすると, 題意を満たす.
ii ) n=0 ∨ m=0 のとき
条件に適するのは(√2, 1) (-√2, 1) (√2, -1) (-√2, -1) の４点.
以上はいずれも(4)式を満たす.
よって, 求める軌跡は半径√3, 原点中心の円.
