数学基礎論の研究について

質問

数学基礎論の研究について

数学基礎論に興味が有ります。
数学基礎論の分野では現在、どのような研究が行われているのでしょうか？

自分で調べたところ、この分野は研究室も少なく、不完全性定理等によってもう「終わった」とも言われているようです。
ですがそれでもこの分野に興味があるので、どのような研究をしているか気になります。

また、自分は情報工学を現在専攻してますので、情報工学(計算機科学)との関連も気になります。Wikipediaには「計算機科学の基礎と発展に大きく寄与した」とありますが、具体的にどのようなことでしょうか？

まとめますと、今どのような研究がなされているか、計算機科学との関連、について教えて欲しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

ur2c · ベストアンサー

私には圏論
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
が基礎論の今後の中心課題のように見えてます。いわゆる圏論的構造主義
http://philmat.oxfordjournals.org/cgi/content/abstract/12/1/37
の話です。その一部として、トポス
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9D%E3%82%B9_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
と論理とか。

> 情報工学を現在専攻してますので、情報工学(計算機科学)との関連も気になります。Wikipediaには「計算機科学の基礎と発展に大きく寄与した」とありますが、具体的にどのようなことでしょうか？

やはり圏論との関連が大きく見えます。たとえば Haskell は圏論抜きには語れません。Category Theory for Computing Science
http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ctcs.html
という本もあり、net でも
www.cs.toronto.edu/~sme/presentations/cat101.pdf
とか、いろいろあります。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

kabaokaba

＞不完全性定理等によってもう「終わった」とも言われているようです。

へ？誰がそんなことを？
不完全性定理はスタートにすぎないんですが，
終わったとかいうのは
何も知らない門外漢の勝手な言い草でしょう．

とりあえず
東大出版の「ゲーデルの20世紀」のシリーズを
よんでみたらどうでしょうね．
不完全性定理「以降」の話もたくさんでてます．
結城浩さんの「数学ガール」の三冊目にも
不完全性定理「以降」の話題がちょろっとだけでてます．
不完全性定理によって「不完全」だということがわかったから，
・不完全性の具体例は何か？
・その具体例を含めることのできる公理系はあるのか？
・公理系の「強さ」の比較
・ある定理を証明するのに最低限必要な公理系は何か？
というようなことが問題になります．

＞Wikipediaには「計算機科学の基礎と発展に大きく寄与した」
チャーチ数，λ計算，チューリングマシンなんかでは不足ですかねえ
λ計算なんかはLispやHaskellの根幹だと思います．
ペアノ公理系なんかは再帰そのものですよね．

お礼

ありがとうございます。