高校物理の質問です。

質問

直径7mの鉄球を、1キロの高さから自由落下させた時、（空気抵抗を計算に入れた場合、つまり真空ではない場合）地上に達する時の速度はいくつですか？
風はふいてないものとします。

回答No.1

QoooL · ベストアンサー

高校物理の知識の範囲でお答えします。

空気抵抗がある場合、抵抗は速度の２乗、及び空気の密度ρに比例するので、最初は抵抗が小さいけれども、そのうち重力と釣り合って加速が止まり、一定速度Ｖ1に達します。
そのときまでに落下した距離をＬとおく（Ｌは１ｋｍより充分小さいと思われる）と、
Ｖ1＾2－0＾2＝2ｇＬ
とおける。

一方、比例定数をｋとすると
ｍｇ＝ｋρＶ1＾2

空気の密度ρに比例することは高校では習わない、及び海抜０ｍ～１０００ｍの空気密度の計算は面倒なので（海面高度の大気中なら、気温15℃で 1.2250 kg/m3　だそうです）、無視して、
比例定数をｋ’と置き直すと
ｍｇ＝ｋＶ1＾2

どっちにしても、終端速度Ｖ1は質量ｍの平方根に比例することがわかったので、鉄球の質量が書いていないから

「解けない」

が答えだと思います。

ここから物理の問題ではない話。
鉄球の表面の磨き方、
鉄球の鉄の鍛え方（密度）、回転しやすいか完全カンペキな球か、
空気抵抗による摩擦熱による膨張
などにもよるのではないでしょうか。
なぜなら、宇宙船の帰還をイメージしたので。

（なぜ直径をａと置かず、具体的に７ｍにこだわりました？　笑　興味あります。）

表面抵抗って無視できないですよ。バイオ・ミメティックス（生物模倣工学）の本を良く読みますけど、イルカもフクロウもチョウも、抵抗を少しでも少なくするために表面に無数の空気の渦を作ったり、
競泳ではレーザーレーサーが記録を作ったり、
逆にサッカーで無回転シュートが話題になったり、

空気中を飛ぶ「飛翔体」が抵抗を無視できるようにしようと思ったら、必然的に「弾丸」の形になるでしょうね、球ではなく。

ところで概算ですけど、
直径７ｍの場合は体積が　４３ｍ＾3ですから、
水風船でも４３トンあります。
中空ではなくぎちぎちに詰まっているとする場合、
鉄の標準的な比重を８として、３４０トンあることになります。

去年？カザフスタンに落ちた１０トンの隕石ですら、ドーーン！　って感じですから、
３４０トンが落ちてきたら、それはもう、ドドドドドーーン！　って感じでディザスターでしょうね。
（長さ５ｍの車ですら１～２トンですから。）

(1/2)ｍＶ1＾2＝ｍｇＬ
Ｖ1＝√(２ｇＬ)

Ｖ1＝ｇｔ
ｔ＝Ｖ1／ｇ＝√(２Ｌ／ｇ)
Ｌ＝１０００、ｇ＝９.８　なら　ｔ≒１４.３（秒）

で、鉄球を落としても発砲スチロールの球を落としても時間は変わらないことになってますが（ピサの斜塔）、
やっぱり感覚的に鉄球の方が圧倒的に早く落ちる気がしてならないから、物理学って不思議です。
（あと実際には、重力加速度は地上で所変われば一定ではない。地球の半径を６４００ｋｍとする場合、高度何ｋｍから無重力に近付くかは不明だが。）

フライトシミュレーターのゲームをやったことないですか？
飛行機が１０００ｍ（３０００フィート）高度を下げるのってあっという間ですよ。
真下に落ちるならなおさら早いです。自由落下だとしても。

もしかして、終端速度に達するより早く地上に着くのではないでしょうか。
７ｍって何なのか教えてください。

お礼

詳しくありがとうございます。何故7mかと言いますと、まず想定がファンタジックなので呆れられるかもしれませんが、広大無辺な地下空洞があったとして、その「深さ」が大体１キロで、地震でその天上にヒビが入って、落下した岩の塊が７m、という想定です（苦笑）この岩の塊が地面（というか地底）に到達するまでにどのくらいかかるのかということを、詳しくではなく、アバウトでいいので知りたかったのです。

回答No.5

QoooL

なるほど。
＃１です。

＞地下空洞があったとして、その「深さ」が大体１キロで、地震でその天上にヒビが入って、落下した岩の塊が７m

おもしろいじゃあないですか。

落ちれば落ちるほど重力加速度ｇ　は微妙に大きくなるでしょうね。
一方、落ちれば落ちるほど　気圧が高くなって、空気抵抗は大きくなるでしょうね。
耳が痛くなるレベルだと想像します。
（ちなみに、深「海」１０００ｍでは、１０１気圧。しかし、空気の場合は下記の通り、人間が生きられるレベル。）

少しずつ訂正しましたけど、細かいミスはいくつか残っていると思います。例えば
誤　ｍｇ＝ｋＶ1＾2
　↓
正　ｍｇ＝ｋ’Ｖ1
とか。

まあ言いたかったのは、
空気抵抗なしなら、質量ｍ　に関係なく求められる。
空気抵抗ありなら、質量ｍ　に関係するから求められない。
ということですよ。

しかし、空気抵抗ありの場合は　なしの場合より遅くなるはずですから、
なしの場合を求めるだけでも、かなりの好奇心を満たされるんじゃないでしょうか？

上から１８０トンとか１０００トンとか１３００トンとかの岩の塊が落ちてきたら、
地底王国は砂ぼこりだらけ＆衝撃波で壊滅状態になるでしょうし、
地底人はめちゃくちゃ怒るでしょうね！

自由落下ではわずか１５～６０秒程度で地底に着くわけです。
現実世界でも、鉱山では１０００ｍか２０００ｍ付近までいくつかのエレベーターを乗り継いで降りていると思います。歩く時間入れて１０分くらいかな？　どんなに高速のエレベーターでも。
立抗で検索すれば出てくるでしょう。

回答No.4

QoooL

はぁ・・・

1624000ｋｇ
162400ｋｇ

0　１個多かったです。
すみません。
言いたいことだけ伝わることを祈ってます。

回答No.3

QoooL

＃１です。
さらに訂正ですみません。

ρはＶ1に影響されるようです。
従って
ｍｇ＝ｋρＶ1＾2
までは正しくても、
ｍｇ＝ｋ’Ｖ1
となります。
教科書にもこっちで載っているでしょうね。

（誤）終端速度Ｖ1は質量ｍの平方根に比例する
↓
（正）質量ｍに比例する

だから、答えは

「答えられない」

ことに変わりありません。

ちなみに
ｔ秒後の速度
Ｖ＝(－ｍｇ／ｋ’)ｅ＾(－ｋ’ｔ／ｍ)＋ｍｇ／ｋ’
のようです。
（終端速度になる前）
またｍが関わりますね。

回答No.2

QoooL

＃１です。

計算一部忘れてました。

＞直径７ｍの場合は体積が　４３ｍ＾3ですから、
＞水風船でも４３トンあります。
　↓
正
＞直径７ｍの場合は体積が　１８０ｍ＾3ですから、
＞水風船でも１８０トンあります。

これが鉄の塊だったら・・・１０００ｔ超！？

ボーイング747（ジャンボ。全席２階建て旅客機）ですら
空虚重量　162.4 t＝1624000ｋｇ
ですから、
密度っていかに大事かわかりますね。

こんな非現実なことでも計算できるんだから、物理って便利。