eを含む 不等式の解き方？

質問

xe^x / (x^2 - 1) ≧　１

という不等式があります。

答えは　
-1 <x< - 0.800 または　 x > 1　　と書いてあります。

解説がないので困っています。
eが入ってしまうと、どのように手を付けたらよいのか、何もわからなくなってしまいます。

解き方を教えてください！！

回答No.2

178-tall · ベストアンサー

>xe^x / (x^2 - 1) ≧　１　という不等式…
　　　↓
不用意に移項すると不等号向きがメンドい … ならば、略図 (グラフ) や極性表 (+, -) などを作り、答案を絞り込むのが無難な手口？

・左辺が正値なのは？　(グラフ省略)
　(1) -1 < x < 0　　(単調減少)
　(2) +1 < x　　(下に凸)
の 2 区間。

また、
　y = xe^x/(x^2 - 1)
　　　↓
　y' = [1 + (1/x) - {2x/(x^2 -1) } ]*y
らしい…ので利用してみる。

(1) 「単調減少」で +1 のときの x1 は？
　xe^x/(x^2 - 1) = 1
を解くと、x1 ≒0.8003 。
(Newton 流でアッという間に解けます)

(2) 「下に凸」での極小値 ym は？
極小点 xm は、
　x^3 - x^2 - x -1
の零点。
解くと、xm≒1.8393, ym≒4.8565 。

　　　↓
確かに、
>答えは　-1 <x< - 0.800 または　x > 1　…
… らしいですネ。

お礼

お礼が遅れました。
まだ、難しくてうなっているところですが、
みなさんから頂いたヒントを元に、もう少し考えてみます。

どうも、ありがとうございました！

回答No.3

178-tall

ミスプリ訂正。

　xe^x/(x^2 - 1) = 1
を解くと、x1 ≒ -0.8003

お礼

了解です！

回答No.1

spring135

xe^x / (x^2 - 1) ≧　１　　(1)

(1)よりx≠±1、またx=0のとき左辺は0となり式は成り立たない。よって解になりうる範囲はx＝0を含まない。

従ってx≠0とする。

1)x(x^2-1)>0のとき

すなわち

x>1または-1<x<0のとき(1)は

e^x≧x-1/x

これを満たす範囲はy=e^xとy=x-1/x

のグラフを書けば明らかなように

x>1または-1<x≦α

αは-1<α<0であって、y=e^xとy=x-1/xの唯一の交点、後程さらに検討する。

2)x(x^2-1)<0のとき

すなわち

x<-1または0<x<1のとき(1)は

e^x≦x-1/x

これを満たす範囲はy=e^xとy=x-1/x

のグラフから明らかなように存在しない。

以上より解は

x>1または-1<x≦α

さてαは-0.800ではない。ニュートンの方法等による数値解析ができるなら

α=-0.80031763174....

を導くことは容易である。

本問題は数値解析の練習問題としては成立しうるが、解析的に解くことはできないので、入試等には決して出ることはないであろう。

答えがx=α=-0.80031763174....も含むことを見落としている。

お礼

ご回答を、どうもありがとうございます！　

最初の式が、どうして
e^x≧x-1/x　…　となるのかが、わからないのですが…。

これは、
e^x≧x^2-1/x
の、間違いではないでしょうかね？？