方程式の距離を求める計算が分からなくて

質問

数学の問題で娘（中学3年）に聞かれて分からなかったので質問です
よろしくお願いいたします

Ｐ君とＱ君がＡ地とＢ地の間を歩くのに、Ｐ君はＡ地を、
Ｑ君はＢ地を同時に出発した。
Ｐ君がＡ．Ｂ間のちょうど真ん中の地点に来たとき、Ｑ君はＡ地点まで２４kmの地点にいた。また、Ｑ君がＡ．Ｂ間のちょうど真ん中に来たとき、
Ｐ君はＢ地点まで１５kmの地点にいた。Ａ．Ｂ間の道のりを求めなさい。ただし、二人はそれぞれ一定の速さで歩くとする。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

中学3年生なら2次方程式までは習って言うと思われます。

AB間をL、P君の速度をp(km/hour),Q君の速度をq(km/hour)とする。

出発時点からの時刻t(hour)におけるP君,Q君の位置を点Aからの距離で表し、各々X(km),Y(km)とすると、

X=pt

Y=L-qt

がわかりますか。

＞Ｐ君がＡ．Ｂ間のちょうど真ん中の地点に来たとき、Ｑ君はＡ地点まで２４kmの地点にいた

x=L/2のとき時間は

L/2=pt

t=L/2p

です。この時Ｑ君は

Y=L-qt=L-qL/2p=L(1-q/2p)

にいてこれがＡ地点まで２４kmだから

L(1-q/2p)=24 (1)

＞Ｑ君がＡ．Ｂ間のちょうど真ん中に来たとき、Ｐ君はＢ地点まで１５kmの地点にいた

Y=L/2のとき

Y=L-qt=L/2

t=L/2q

この時P君はＢ地点まで１５km,すなわちA地点からL-15の位置にいるので

X=pt=L(p/2q)＝L-15

これより

L(1-p/2q)=15 (2)

(1)、(2)からLを求めればよい。しかし未知数はp,q,Lの三つ、方程式は二つ、解けないぞ！

と、まずは大声で叫んでください。これがこの問題の難しいところ（実は単なるトリック）です。

(1)より

q/p=2-48/L　　　(1)’

(2)より

p/q=2-30/L　　　(2)’

q/pとp/qは逆数で、別々でなく一つのものRと考えると解けるわけです。つまり

q/p=R=2-48/L (1)”

p/q=1/R=2-30/L　　　(2)”

ということです。つまり未知数はRとLの二つ、方程式は(1)’、(2)’のふたつ、解けるぞ！ということです。

ほしいのはLなのでRを消す、つまり

(1)”×(2)”を作ると

(2-48/L)(2-30/L)=1

最後の大詰め、この式を解きます。

両辺にL^2(Lの2乗）を掛けると

(2L-48)(2L-30)=L^2

展開して

4L^2-156L+1440=L^2

3L^2-156L+1440=0

3で割り算して

L^2-52L+480=0

これを因数分解できる人は達人です。因数分解できない場合は解の公式を使えば簡単です。

(L-40)(L-12)=0

L=40またはL=12

L＝12kmは題意に外れる。

（Ｐ君がＡ．Ｂ間のちょうど真ん中の地点に来たとき、Ｑ君はＡ地点まで２４kmの地点にいた）

よってL=40km

以下、余談

(1)”に代入して

R=q/p=4/5

つまり二人の速度比しか与えられていないわけです。

よくよく見ると時間も絶対値がありません。

従って

P君の速度＝5km/hour,Q君の速度＝4km/hourでも（徒歩？）

P君の速度＝15km/hour,Q君の速度＝12km/hourでも(自転車？）

でもこの問題は成り立つわけです。

お礼

大変丁寧に説明して戴きありがとうございました。受験を控える娘も助かったと感謝しています。機会がありましたらまたよろしくお願いいたします

回答No.1

gohtraw

AB間の距離をｘとします。始めの条件、つまり、

「Ｐ君がＡ．Ｂ間のちょうど真ん中の地点に来たとき、Ｑ君はＡ地点まで２４kmの地点にいた」
　⇒このとき、P君が歩いた距離はｘ／２、Ｑ君はｘ－２４　です。

二つ目の条件
「Ｑ君がＡ．Ｂ間のちょうど真ん中に来たとき、Ｐ君はＢ地点まで１５kmの地点にいた」
　⇒このとき、Ｑ君が歩いた距離はｘ／２、Ｐ君はｘ－１５　です。

二人とも、一定の速度で歩いているはず（そうでないとこの問題は解けませんので）なので、
上記のいずれの場合も、ある一定の時間内にＰ君が歩いた距離とＱ君が歩いた距離の比
は一定になるはずです。従って
ｘ／２：ｘ－２４＝ｘ－１５：ｘ／２

比の内項の積と外項の積は等しいので
ｘ＾２／４＝（ｘ－２４）（ｘ－１５）

あとはこれを展開、整理してｘの二次方程式を解くだけです。二次方程式なので解が二つ
あるかもしれず、中には不適な解（例えば、求めるのは距離なのにマイナスになるとか、
１５ｋｍよりも小さいとか）もあるかもしれないので注意して下さい。

お礼

大変丁寧に説明して戴きありがとうございました。受験を控える娘も助かったと感謝しています。機会がありましたらまたよろしくお願いいたします