エネルギー保存

質問

長さlの棒に質量mのおもりがつけれれた単振り子を考える。x軸は水平方向と平行、y軸の正方向は鉛直上向きとする。時刻」tにおいて棒と鉛直下向きがなす角をθ(t)(反時計回りを正)とする。
xy座標でのエネルギー保存を求めよ。

全くわかりません。詳しい解説お願いします。

回答No.2

QoooL · ベストアンサー

棒の垂直方向の長さ（変な言い方ですが）は、
ｌcosθ　となる。
θがデグリー（360°表記）なのか、ラジアン（２π表記）なのか、は気にしなくて良いし、θの範囲も気にしなくて良い。「反時計回りを正」と書いてあるがこれは図を描くときだけ注意すれば良いのであって、計算には影響しない。

θ＝0　つまり　棒が真下に下がったときのおもりの「高さ」を、
ｙ軸の　0点とする。
すると、任意の角　θ(ｔ)　について　おもりの高さは、
ｌ－ｌcos(θ(ｔ))　と表せる。
（棒の一番上のｙ座標は　ｌ　だから。）

高さがわかると、位置エネルギーが求められる。
ｍｇ（ｌ－ｌcos(θ(ｔ))）　・・・式１

運動エネルギーは、おもりの速度を　ｖ　として一般的に
1/2・ｍｖ^2　・・・式２
で表されるから、

おもりについてのxy座標でのエネルギー保存は、
総エネルギーＥ(ｔ)　＝　位置エネルギー　＋　運動エネルギー　＝　式１＋式２
＝　ｍｇｌ（１－cos(θ(ｔ))）　＋　1/2・ｍｖ^2
＝　一定

となる。後は、ｔ＝0　（おもりが手放される時点）の　θ（0）　がわかれば
　　ｍｇｌ（１－cos(θ(ｔ))）　＋　1/2・ｍｖ^2
＝　ｍｇｌ（１－cos(θ(0))）　＋　1/2・ｍ(ｖ0)^2

という保存則の式が書ける。
ここで、ｖ0　は初速度だが、自然に手を離す問題だと思うので、ｖ0＝0

エネルギー保存を求めよ、という問題があいまいだし、ｖについても書いていないので、
ｖを他の文字で表すことにする。

1/2・ｍｖ^2　＝　ｍｇｌ（１－cos(θ(0))）－　ｍｇｌ（１－cos(θ(ｔ))）

後は式変形
ｖ^2　＝　2ｇｌ（cos(θ(ｔ))－cos(θ(0))）
ｖ　＝　√（2ｇｌ（cos(θ(ｔ))－cos(θ(0))））

加法定理関連　和積公式を使って
cos(θ(ｔ))－cos(θ(0))　＝－２sin(θ(ｔ)＋θ(0))／2・sin(θ(ｔ)－θ(0))／2
を代入しても良いが、式がすっきりするメリットは無い。

ちょっと、質問文がどういう答え方を求めているかわかりにくかったですね・・・
おもりは、最下点で最速となるわけですが、
最初の高さがわからないと最高速度もわからないので、
このような答え方をせざるを得ませんでした。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.6

yokkun831

「'」で時間微分を示します。
エネルギ一保存をｘ、ｙで書けば、

E = m(x'＾2 + y'＾2)/2 + mgy = 一定

となると思います。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.5

NemurinekoNya

なんかボケているな。
ワールドカップによる睡眠不足が原因か（ただの苦し紛れの言い訳!!）。

わたしの#3の回答は大嘘！！

棒の質量がmだと思い込んでしまっていた。
この質問では、重りの質量がmなんですね。
わたしの間違い。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.4

QoooL

「ただし棒の重さは無視するものとする」
という問題も多いので、
私は、その方向で補足しておきますね～。

「ｘｙ座標での」という部分が気になったので、
やはり図が必要でしょうから、原点を勝手に一番下と置いて図を描いておきました。

棒のおもりと反対の端を原点とする場合には、ｌの分だけずらしてください。

おもりの位置を座標表示すると
(ｘ,ｙ)＝（ｌsinθ(ｔ),ｌ－ｌcosθ(ｔ)）　　・・・座標式４
となるが、わざわざθ(ｔ)と書いてあるからには、運動方程式も無視できない。

ｖ＝0（初速度なし）で落とし始める最初の位置
（ｌsinθ(0),ｌ－ｌcosθ(0)）　　・・・式５

速さを　ｖ　とすると（「速度」と書くと　大きさ（速さ）と向き　に分けないといけないですよ）、
速度の向きは円運動の接線方向だから、
速度のｘ成分、ｙ成分を　Ｖｘ、Ｖｙ　とおいて、
(Ｖｘ,Ｖｙ)＝（ｌcosθ(ｔ),ｌsinθ(ｔ)）　　・・・式６
と表せる。

式４～６は、θがマイナスの時にも同じになる。
単振り子、と聞くとおもりが位置４まで上がることは普通は想定していないと思うが、
理論上は、真ん中より上（ブランコや鉄棒で言えば、落ちそうになる逆さまの位置）でも同じ式で表せる。
おもりにつけているのが　ひもでなく棒、というのは、たるんだりしない、という意味も込めていると思われる。

図に書いた通り、位置エネルギーと運動エネルギーは真逆に入れ替わるので、
位置４で　位置エネルギー　最大　　　　運動エネルギー　最小（０）
位置２で　位置エネルギー　最小（０）　運動エネルギー　最大　
となる。
位置２では、速さは
ｖ　＝　√（2ｇｌ（cos(θ(ｔ))－cos(θ(0))））　　・・・式３
で表せることは先に書いた通りだが、
向きはｘ正方向になったりｘ負方向になったり変わる。
時計回り回転中か、反時計回り回転中かまで考えないといけないならモーメントも考えることになるだろうが、普通そこまで聞かれない。

さて、運動方程式も無視できないと書いたのは、
式４の位置から落下する運動を、時間ｔで表す式も求められている、と考えられるからである。
ところが、これは普通の高校生にはそんなに簡単な式ではない。
おもりにかかる力は、重力だけではないからである。

等速円運動の向心力、というものをそろそろ習っていると思うが、おもりが弧を描いて移動するというのは、重力以外の力も働いているからである。ところが、これは加速される円運動なので（厳密に言えば、円運動は皆、加速される運動なのだが）等速円運動とも別になる。

何のためにθ(0)と書いているか、意味をはかりかねますね…。

微分して良い（数学で微分を習う前に物理で微分する、物理の入試に数学の問題が出る）というなら、＃３の方のように解く方法もあって、棒のモーメントを考えるか考えないかの違いだけなので、私の場合もほぼ同じ式になりますけど。

ちなみに式４の(ｘ,ｙ)を時間ｔで１回微分したもの、というのが　速度（式６）ですよ。
そして速度(Ｖｘ,Ｖｙ)をさらに時間ｔで微分したもの
（(ｘ,ｙ)を時間ｔで２回微分したもの）というのが　加速度　です。
習っていないから難しいですよね。

もう一度エネルギー保存の話に戻りますけど、
位置１から静かに落とし始めたときには、おもりは位置１と同じ高さ（位置３）より上に上がることはありません。
位置１から落としたおもりが、位置４まで上がることはありません。よほど初速度（勢い）を付けないと無理です。

後は図を参考にして、問題の解答らしいものを自分で作ってください。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.3

NemurinekoNya

これは棒だから、
　運動エネルギーK = (1/6)・ml^2・(dθ/dt)^2
　位置エネルギーU = mgl・(1-(1/2)・cosθ)
　K + U = (1/6)・ml^2・(dθ/dt)^2 + mgl・(1-(1/2)・cosθ) = const.
で、これを時間tで微分すると、
　(1/3)・ml^2・(d^2θ/dt^2) + (1/2)mgl・sinθ = 0
ほいで、
　慣性モーメントI = (1/3)・ml^2
なので、
　I・(d^2θ/dt^2) = -(1/2)mgl・sinθ
となりまして、見覚えのある式が出てきます。
この問題の場合、
位置エネルギーは、重心の位置で考えないとダメなんですよ。

θが小さければ
　I・(d^2θ/dt^2) = -(1/2)mglθ

この問題では、
速度は、重心の位置での速度で表わすべきなのか、棒の先端の速度なのか、それも不明なので、
ちょっと困ってしまうんですよ～。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.1

NemurinekoNya

まず、xyの原点をどこにするのか、教えてほしい！！

棒の付け根を原点にするのか、
θ = 0のときの、棒の先端を原点にするのか、
それがわからないと、式の立てようがない！！

少なくとも、どこをポテンシャルエネルギーの基準にとるのか、
それがわからないと、
ポテンシャルエネルギーの式が立てられない（式の形が変わっちまうんだ）。

教えてけれ～。

絵があったら、添付してくれ～！！

お礼

詳しい解説ありがとうございます。