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整数環 ０×∞ 形の積
内容を少しだけ修正しました。 実数で 0 と ∞ となるものを考えます。たとえば a = lim[x→∞]1/x = 0 b = lim[x→∞]Σ[n=1,x]1 = lim[x→∞]x = ∞ という例が挙げられます。 加算について 1 + lim[x→∞]Σ[n=2,x]1 = b = ∞ となりますか？ 乗算について a × b = (lim[x→∞]1/x) × (lim[y→∞]Σ[n=1,y]1) = lim[x,y→∞]y/x は不定（未定義）ですか？ 同じことを整数で行うと、たとえば c = lim[x→∞]0 = 0 d = lim[x→∞]x = ∞ という例が挙げられ c × d = lim[x,y→∞]0y = 0 となりますか？ 整数環では 0 × ∞ という形の積は 0 と考えて良いのでしょうか？
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- jmh
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#10礼> 「= ∞」という組み合わせで、左辺が限りなく大きくなることを表します。 この文の「左辺が限りなく大きくなる」の部分の意味が分かりませんが、単独の「∞」には意味がないということでしょうか。最初の回答（#9）で "この回答では「等しい」です" と記したとおり、jmh にとっては lim[x→∞]x と ∞ の間にあるのはタダの等号でした。これは質問文を補完数直線（Ｒ∪{＋∞，－∞}）での記述と考えたからです。しかし、この書き方は混乱の元のようなので補完数直線は忘れてください。 #10礼> このことは、私が記号を定義するまでもなく、一般的な、あなたも同意してくれる事柄だと思います。 定義を明らかにしないで記号を使ったために勘違いをしたようです。 #10礼> これらはすべて、勘違いです。 質問の意味を再確認しなければならないようです。 その前にまず、εδを私たちの唯一つの共通の拠り所とすることを確認したいです。私たちは「lim」「→」などの記号や「限りなく近づく」「十分大きな」などの言葉を用いますが、それらが最終的には同一（同値）のεδに変換されて解釈されていると相互に期待しています。変換できなかったときには「意味が分かりません」と言います。例えば「左辺が限りなく大きくなる」はこちらでの変換に失敗したため「意味が分かりません」でした。このようなエラーはεδで書き直すことによって解決することができると思います。 例えば、 > b = lim[x→∞]Σ[n=1,x]1 = lim[x→∞]x = ∞ > 1 + lim[x→∞]Σ[n=2,x]1 = b = ∞ > d = lim[x→∞]x = ∞ > 0 × ∞ これらの意味が分かりません。 #10礼> x > 0 (x → ∞) ある K が存在して任意の x > K に対して x > 0 （十分大きな x に対して x > 0) ですか？「lim[x→∞]x ≧ 0」は「次のような L ≧ 0 が存在する: 任意のε > 0 に対して、ある K が存在して、任意の x > K に対して |x - L| < ε」ですか？ まとめ: 確認したいです。
- jmh
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#9礼> 私は、「∞」を定義したり、付け加えたりしていません。 同じか違うか（または分からない）を答えてくださいね。 例1: 定義したり付け加えてないけれど考えているのと同型 例2: 位相が違う 「0 × ∞ という形の積は 0 と考えて良いのでしょうか？」などと問う前に「∞」を定義しなくてもよいのかしら。（心配です） #9礼> > d = lim[x→∞]x = ∞ #9礼> と書いても、誰も d が ∞ だと解釈する人はいないと思います。 #9礼> >> d = ∞ #9礼> > …のように書いてあるのと同じであると解釈しました。 #9礼> という解釈は、単なる勘違いです。 いいえ。単なる推移律でした（つまり「d = lim[x→∞]x かつ lim[x→∞]x = ∞」から（lim[x→∞]x はその後の記述で使用されていないので削除して）推移律で「d = ∞」としてしまいました）。この質問の等号は非推移的なんですか？（不便です） #9礼> # 表記は、読みやすさはともかく、使いづらいので、希望には沿えません。 「使いづらい」ということは、おそらく実際にやってみて意図が発覚してしまったのだと思います（残念です）。例えば「n が ∞ に近づくとき 0 × n という形の積は 0 に近づくと考えて良いのでしょうか？」です。 マトメ: a. 「∞」は定義しない、追加しないで、∞ となるものを考える b. 等号は非推移的 c. これは lim を用いなければ表現できない主張（ε-δけしからん）
お礼
lim[x→∞]x = ∞ と記述した時の「∞」は、何かの集合の元ではありません。 「= ∞」という組み合わせで、左辺が限りなく大きくなることを表します。 このことは、私が記号を定義するまでもなく、一般的な、あなたも同意してくれる事柄だと思います。 > 私は、「∞」を定義したり、付け加えたりしていません。 というのは、私が「∞」という元を定義したり、付け加えたりしたということでも、 「= ∞」という記号の意味を、私の独自の使い方として定義したのでもないという意味です。 > この質問の等号は非推移的なんですか？（不便です） 等号の使い方には、少なくとも２通りあるそうです。 １．実数として等しい（両辺の差が０） ２．「= ∞」として、限りなく大きくなることを表す > d = lim[x→∞]x = ∞ とした場合は、２つが混在しています。 これから推移律を使って > d = ∞ としても、間違いではありません。ただし、「= ∞」を２番目の意味だと承知して使うなら。 普通はこれを「∞」という元と等しいとは（「∞」が定義されていないことを知っていれば）解釈しないのですが、あなたはこれを「∞」が定義されている筈だと逆方向に考えたみたいですね。 そういう単純なミスをしないように、使わない方が賢明です。 > 「使いづらい」ということは、おそらく実際にやってみて意図が発覚してしまったのだと思います いいえ。例が３通り示されていますね。 > # 例1: f(x) → L (x → c) > # 例2: x → c のとき f(x) → L > # 例3: x が c に近づくとき f(x) は L に近づく でも、不等号と組み合わせた式は見た記憶がないので、これで正しく伝わるか疑問がありました。 x > 0 (x → ∞) x → ∞ のとき x > 0 と表して、それが理解できるなら、使えるのでしょう。 例３はまったく使えません。「∞」に近づくなんてあり得ないですから。（理解できますか？） それでも、 > a × b = (lim[x→∞]1/x) × (lim[y→∞]Σ[n=1,y]1) = lim[x,y→∞]y/x のような複雑な式に使うと、やはり誤解が生じないか危惧します。 > a. 「∞」は定義しない、追加しないで、∞ となるものを考える > b. 等号は非推移的 > c. これは lim を用いなければ表現できない主張（ε-δけしからん） これらはすべて、勘違いです。 回答ありがとうございました。
- jmh
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http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E7%9B%B4%E7%B7%9A#.E4.BD.8D.E7.9B.B8.E7.9A.84.E3.81.AA.E6.80.A7.E8.B3.AA > R の一点コンパクト化 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0 > R の有理コーシー列による定義において、…として +∞ を定義 その「∞」は↑これらのどれかと同じですか？ ∞×０は（普通は）まだ定義されていないので、定義したのならそれを教えてくれないと答えられそうにないです。例えば次のように: 例> (fusem23 さん) 例> 定義: 補完数直線において０×∞＝０とする。 例> 質問: このとき０×∞ ＝０ですか？ 例> 例> (jmh) 例> 回答: はい。定義です（証明終了）。 #7補足> という式は、あなたが書いてる通り、両辺が等しいのではありません。 この回答では「等しい」です。等しくない場合は補足してください。 最終的に 0 や ∞ に「等しい」ので計算途中？の lim を表示する必要はないように思えます。その検算が目的ではないようなのに無意味に読み解くのが面倒臭いです。 > > 同じことを整数で行うと、たとえば > c = 0 > d = ∞ > という例が挙げられ > c × d = 0 > となりますか？ > …のように書いてあるのと同じであると解釈しました。 > 整数環では 0 × ∞ という形の積は 0 と考えて良いのでしょうか？ > 良くも悪くもありません。（有理？）整数環には「0 × ∞ という形の積」は表れません。この質問は「良い」と答えても「悪い」と答えても…（省略）。 # lim_[x→c]f(x) = L は読みにくいので「→」を使って欲しいです。 # 例1: f(x) → L (x → c) # 例2: x → c のとき f(x) → L # 例3: x が c に近づくとき f(x) は L に近づく
お礼
> その「∞」は↑これらのどれかと同じですか？ 私は、「∞」を定義したり、付け加えたりしていません。 > d = lim[x→∞]x = ∞ と書いても、誰も d が ∞ だと解釈する人はいないと思います。 >> d = ∞ > …のように書いてあるのと同じであると解釈しました。 という解釈は、単なる勘違いです。 整数の 1 と 1 を加算しても 2 という整数であり、加算をいくら繰り返しても結果は整数だと思われます。 整数であれば、0 との積は 0 だと定義されています。 「0 × ∞ という形の積」が 0 ではないとか、定義されていないとか言うためには、d が整数でないことの証明が必要だと思われます。 たとえば、次のことを否定してください。 lim[x→∞]x > 0 整数環で大小関係が定義されてるのは整数と整数の場合だけだから、整数でないのなら否定されますよね？ # 表記は、読みやすさはともかく、使いづらいので、希望には沿えません。 回答ありがとうございました。
- uyama33
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実数で 0 と ∞ となるものを考えます。 出だしの実数の定義が不明です。 どんな流儀で実数を定義しているのでしょうか？ ここで、食い違うと議論になりません。 実数の定義してある文献を示してください。 よろしくお願いいたします。
お礼
実数に異なる複数の定義があるとは、初めて聞きました。 そこが、すでに食い違ってますね。 ありがとうございました。
- funoe
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はい、有難うございました。 --- > 「加法が群をなしているか」 単位元は0ですが、逆元は存在しないので、群ではありません。 よって、乗法を定義して体にすることもできません。 ---- これで十分です。 あなたの考えている集合”集合R+∪{∞} ”とあなたのお考えの演算では「環」にはならないので、 最初の質問文の ＞整数環では 0 × ∞ という形の積は 0 と考えて良いのでしょうか？ に対して、それまでに書いている１７行が全く無関係であることをｆｕｓｅｍ２３さんご自身で示してくれました。 従って、当初の質問 ＞整数環では 0 × ∞ という形の積は 0 と考えて良いのでしょうか？ に対する回答は 「ダメです。 fusem23さんのお考えの集合では環になっていません。 fusem23さんのお考えの集合ではなく、一般知られている整数環の場合には∞が含まれおらず演算が定義されていません。」 ようやく的確な回答ができてほっとしています。
お礼
私は、順序立てて質問しています。 私の本当に知りたいことは「どこで間違ってるのか」だからです。 結論のみを押し付けられても、困るのです。 ＃３にて、等号の使い方は２通りだと言っていた。 １．実数として両辺が等しいこと ２．左辺が無限大に発散するとき = ∞ と表現する けれど、調和級数などで、それ以外の使い方が示されている。 例外が含まれる回答など無意味ですから、訂正してください。 その上で、最初の質問から答えてください。 このまま、また表現を少し変えて、再質問するというのは避けたいですから。 ありがとうございました。
補足
> 一般知られている整数環の場合には∞が含まれおらず演算が定義されていません。 間違いを見つけたので、指摘しておきます。 lim[x→∞]x = ∞ という式は、あなたが書いてる通り、両辺が等しいのではありません。 私は∞との積ではなく、lim[x→∞]x という整数との積を質問したのです。 回答は、両辺が等しいという勘違いに基いてますね。
- noname2727
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そうですか、あなたは収束しない場合の極限の積を c × d = lim[x,y→∞]0y のように定めたんですね。 収束しない時は積は定義されていないと思うのですが、そのように定義するなら正しいのではないでしょうか。 今後も独自の理論を追及なさってください。 活用性はなさそうですがね。
お礼
> そのように定義するなら正しいのではないでしょうか。 定義しても問題無いってことですね。 > 今後も独自の理論を追及なさってください。 普通に考えて、褒め言葉ですね。 回答ありがとうございました。
- funoe
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わたしのお願いは、 lim[x→∞]Σ[n=1,x]1 = ∞ という記述は、なんらかの集合の要素として両辺が等しいことすら意味しないというわたしの主張に対して、 fusem23さんが「・・言い過ぎで、実数に限らなければ、∞を表す式という同値関係は定義可能です。」とおっしゃっていることに端を発します。 fusem23さんも「実数に∞が含まれないこと」は承知しているため、「実数に限らなければ」という条件の上で「∞を含んだある集合」上で 同値関係を適当に定義すれば、 lim[x→∞]Σ[n=1,x]1 = ∞ という式がその集合上の同値関係を表す と主張しています。 なので、その「∞を含んだある集合」で、「どのような同値関係」「どのような大小関係」「どのように加法」が定義されれいるかを 補足してほしいとお願いしたのです。 > 「どのような集合」 閉区間 [0,2] を考える。 私のしっている閉区間 [0,2] には、「lim[x→∞]Σ[n=1,x]1 」という元も「∞」という元も含まれていません。 従ってＮＯ４に補足頂いた内容は、まったく私の要求に応えていません。 上記趣旨に即した回答をお願いします。（それ以外の回答は全く不要です）
お礼
> 私のしっている閉区間 [0,2] には、「lim[x→∞]Σ[n=1,x]1 」という元も「∞」という元も含まれていません。 意味が分かりません。「∞」は演算結果として定義してるので、含まれているかは加算の定義次第です。 でも、これは全く無意味な議論なので、省略致します。 > 「どのような集合」 非負の実数をR+とし、集合R+∪{∞} を考える。 > 「どのような同値関係」 実数と同様に。 ∞ = ∞ と定義する。 > 「どのような大小関係」 a=b+c となる c が存在するなら a ≧ b とする。 > 「どのように加法」 実数と同様に。 「R+の元」+ ∞ = ∞ と定義する。 ∞ + ∞ = ∞ と定義する。 lim[x→∞]Σ[n=1,x]1 = ∞ とする。 > 「加法が群をなしているか」 単位元は0ですが、逆元は存在しないので、群ではありません。 よって、乗法を定義して体にすることもできません。 これで要求を満足しますか？
- funoe
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>というのも言い過ぎで、実数に限らなければ、∞を表す式という同値関係は定義可能です。 無限大に発散するときのｌｉｍの記述に関する定義について、教科書はご確認いただけましたか？ それとも「ご自分の感性」と「教科書の記述」に差がある場合でも、「ご自身の感性」を優先するのですか？ ・・・といった点について、はなはだ疑問ではありますが、ややもすれば脇にそれる懸念もあるので一旦保留しましょう。 問題点が拡散するまえに、「∞を表す式という同値関係は定義可能」という点に絞って ＞lim[x→∞]Σ[n=1,x]1 = ∞ という記載において、「どのような集合」に「どのような同値関係」が定義されているか、補足願います。 またその集合上で「どのような大小関係」が定義されているか、「どのように加法」が定義されているかも合わせて補足願います。 また、その「加法が群をなしているか」を教えて下さい。 たくさんの補足要求をしますが、この点を明らかにすることが、大元のfusem23さんの疑問の解決に資すると信じての要求です。
お礼
> 「どのような集合」 閉区間 [0,2] を考える。 > 「どのような同値関係」 実数と同様に。 > 「どのような大小関係」 a=b+c となる c が存在するなら a ≧ b とする。 > 「どのように加法」 a+b = 4(a+b)/(4+a*b) と定義する。 lim[x→∞]Σ[n=1,x]1 = ∞ とする。2 と表記することもできます。 > 「加法が群をなしているか」 単位元は0ですが、逆元は存在しないので、群ではありません。 よって、乗法を定義して体にすることもできません。 これで要求を満足しますか？
- funoe
- ベストアンサー率46% (222/475)
前回はご理解いただけなかったようなので、今回極力お気に召すようにコメントします。 なので、 ＞実数で 0 と ∞ となるものを考えます ∞って実数じゃないけけど、「なるものを考えます」ってどういう意味だろう？ というツッコミは保留します。 ＞a = lim[x→∞]1/x = 0 これは、第２辺が「実数」になるので、実数の「０」と等号で結ぶことができ、同時にａ＝０と理解できます。 正しい記述です。 ＞ lim[x→∞]Σ[n=1,x]1 = ∞ このように抜き出した場合、この記述は正しいものです。 ただし、これは両辺とも実数ではなく、したがってこの「＝」等号は、「実数として両辺が等しいこと」を表していません。 定義に沿ってコメントすると、 Σ[n=1,x]1 が、 x→∞ のとき無限大に発散するとき、このことを「便宜的に」”ｌｉｍ・・・＝∞”と表現するのであって 決して左辺のｌｉｍ・・の部分や、∞が実数であることを意味しないばかりか、 「なんらかの集合の要素として両辺が等しい」という意味すらない（！！）のです。 このあたりのことは、大学の教科書ばかりか、高校の教科書にも記載していることなので、ぜひともご確認ください。 このことが理解いただければ、 ＞ b = lim[x→∞]Σ[n=1,x]1 や ＞1 + lim[x→∞]Σ[n=2,x]1 = b = ∞ という記述が「許されないもの」とお分かりでしょうか？ 前者では、「＝」が定義されていません。この「＝」はどんな集合のどんな関係子ですか？ 後者では左辺の「＋」の演算も定義されていません。この「+」は、どんな集合のどんな演算でしょうか？ 一般にｌｉｍｆとｌｉｍｇがそれぞれ有限の極限を持ては、ｌｉｍ（ｆ＋ｇ）＝ｌｉｍｆ＋ｌｉｍｇが証明でき（定理として用いてよい）ますが、 そうでないとき（いずれか一方でも有限の極限値を持たないとき）には、 ｌｉｍ（ｆ＋ｇ）＝ｌｉｍｆ＋ｌｉｍｇ も ｌｉｍ（ｆ×ｇ）＝ｌｉｍｆ×ｌｉｍｇ も正しくありません（証明できません、用いてはいけません、記述がゆるされませんという意味です） なぜなら、これらのｌｉｍはいずれも「実数ではない」（もちろん、整数でも複素数でもない）からです。 以上のことから ＞a × b = (lim[x→∞]1/x) × (lim[y→∞]Σ[n=1,y]1) という記述には意味がありませんし、さらに ＞ (lim[x→∞]1/x) × (lim[y→∞]Σ[n=1,y]1) = lim[x,y→∞]y/x などという変形（？）は全く許されていません。 ここまでを本当に理解していただければ、 ＞同じことを整数で行うと、 以下の記載も、ここまでと同様に意味がないということをお分かりでしょうか？ ＞整数環では 0 × ∞ という形の積は 0 と考えて良いのでしょうか？ ここまでfusem23さんが記載している意味で「∞」という記号を用いているのなら、そのような元を持つ環は存在しません。 例えば加法について結合則などが破綻することから明らかです。 さらに「整数環」に限定するなら、そもそも整数に∞という元が含まれません。 fusem23さんが、∞を含む「整数らしきもの」あるいは「実数らしきもの」をお考えならその定義の提示をお願いします。
お礼
> ただし、これは両辺とも実数ではなく、したがってこの「＝」等号は、「実数として両辺が等しいこと」を表していません。 その使い方でも、等式のような推移律は満たします。 途中で使ってはいけない理由はないと思います。（使えると思います） > 「なんらかの集合の要素として両辺が等しい」という意味すらない（！！）のです。 というのも言い過ぎで、実数に限らなければ、∞を表す式という同値関係は定義可能です。 また、たとえば 調和級数の説明 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E7%B4%9A%E6%95%B0 には、 Σ[n=1,∞]1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … などの記述もあります。これは明らかに、発散するもの同士を等号で結んでいます。 少し制限し過ぎでは？ 少なくとも、私は総和について Σ[n=1,∞]a_n = a_1 + a_2 + a_3 + … という意味で解釈しており、それが間違いだとするなら、私は左辺の値を計算できません。 まず、この点に対する疑問に答えてください。 回答ありがとうございました。
- Tacosan
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「0 と ∞ の積」を先に定義しておかないと c × d が求まらないね. あと, 実数の場合と整数の場合とで式を使い分けなきゃならない事情が分からない.
お礼
質問内容がいくつかあるのは、どの段階から間違ってるのか知りたいからです。 > 「0 と ∞ の積」を先に定義しておかないと c × d が求まらないね. というのは、前の２つは正しいということですか？ > あと, 実数の場合と整数の場合とで式を使い分けなきゃならない事情が分からない. 共通の理屈が思い付かなかったからです。 回答ありがとうございました。
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お礼
理解の助けになるのなら、εδを拠り所とするのは賛成です。 ただし、今回の場合、「限りなく大きくなる」を扱うため lim[x→∞]f(x) = ∞ から ∀ε>0, ∃δ>0 s.t. ∀x∈R, x>δ ⇒ f(x)>ε のようなものを考えることとします。必要に応じ、R が Z になります。 x > 0 (x → ∞) ならば ∀ε>0, ∃δ>0 s.t. ∀x∈Z, x>δ ⇒ x>ε>0 を意味します。 0 × lim[x→∞]x = 0 ならば ∀ε>0, ∃δ>0 s.t. ∀x∈Z, x>δ ⇒ x>ε かつ 0×x=0 を示せばいいのだろうと思います。 全部は示しませんが 1 + lim[x→∞]Σ[n=2,x]1 = ∞ ならば ∀ε>0, ∃δ>0 s.t. ∀x∈Z, x>δ ⇒ 1+Σ[n=2,x]1>ε などとなるかと。 不備な点があれば、指摘してください。 回答ありがとうございました。