二階述語論理と高階述語論理について

質問

(1)二階述語論理というものが調べても分からないのですが、一階述語論理の発展形なのでしょうか。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1110226389...
具体例を調べても、これぐらいしか出てきませんでした。

例えば、対象aの性質Pについて、一階述語論理だとP(a)と書けますね。
二階述語論理では対象だけでなく述語も量化できるそうですが、すると、P(a)を量化してQ(P(a))といった記述が可能になるのでしょうか。

(2)二階述語論理のさらに上の三階・四階述語論理といったものは存在しないのでしょうか。

(3)高階述語論理と二階述語論理の関係は何でしょうか。
二階述語論理が、高階述語論理の一部なのでしょうか。

回答No.3

itshowsun

この質問を理解するためには、
項とは何か、述語とは何か、最も基本的なことについて、
集合またはクラスで説明できることが必要です。
そうすると長くなるので、簡単に説明します。
一階述語論理の最大の問題は量化の範囲です。
一般に、量化の範囲は議論の領域に一致していると仮定されます。
日常言語を例に取りますと、これは次のようなことです：
P(a)= 「aは市場に行く」
この否定~P(a)は、それではどんな意味になるのか、考えてみます。
普通は、
１．aは市場に行かなかった
２．aは学校に行った
などでしょう。この場合、２では目的地が量化の範囲として仮定されています。
しかし、
３．bは市場に行った
４．aはプールで泳いだ。
なども、P(a)の論理否定ではないでしょうか？
（３は主語、４は述語が量化の範囲です）
これらの場合、量化の領域が異なっています。
様々な量化の領域を考える場合、量化の領域それ自体の範囲を考える場合、
一階述語論理ではそれを表現できません。
（注：異なる量化の領域たちを別々の（定）集合として与えるだけ）
二階述語論理は集合たちの集まりを量化の領域と考えますので、
上のような状況をきちんと記述することができます。
特に、変項に型を考える場合、型それぞれに特定の集合が対応するわけですから、
二階言語が必要となります。この場合は型理論と呼ばれます。
これ以上の高階の論理も使われますが、
残念ながら私の理解を越えていますし、
一階言語で集合論が完全に記述できるので、
普通の数学では一階言語で十分であると思います。

お礼

> bは市場に行った
これは「a」でしょうか？　それともaとは別人のbの話でしょうか？
また、なぜ「市場に行った」が「市場に行く」の否定となるのでしょうか。
「過去に市場に行ったのだから、現在は行っていない」ということでしょうか。

> この場合は型理論と呼ばれます。
ラッセルの理論ですね。まだ勉強しておりませんが。

回答No.2

Tacosan

(1) だけ:
「述語を量化する」というのは, 例えば「任意の述語について～」という命題が書ける, ということです. いちばんわかりやすいのはペアノの公理にある
∀P[{P(0) ∧ ∀k[P(k) → P(k+1)]} → ∀k P(k)]
でしょうか.

お礼

ありがとうございます。
Pが述語であり、それを量化できるということですね。

回答No.1

NemurinekoNya

二階述語論理
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86

お礼

Wikipediaはもちろん読みましたが、この記述は私のような初心者には分かりにくいですし、他に分かりやすいページも見つからなかったので、トピックを立てました。