大学の数学について質問です

質問

数列n^2/3^nの極限を求めてください

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

←A No.1
正値で単調減少であれば、収束することは言えますが、
それだけでは、極限が 0 だとは言えません。
例： 1+(1/n)

漸化式を作り、その極限をとってはどうでしょう？
a[n] = (nの2乗)/(3のn乗) と置くと、
3 a[n+1] - a[n] = (2n+1)/(3のn乗) より
2n/(3のn乗) = 3 a[n+1] - a[n] - 1/(3のn乗).
両辺を 2 乗すると、
4 a[n]/(3のn乗) = (3 a[n+1] - a[n] - 1/(3のn乗))2乗.
lim[n→∞] a[n] = α が収束することから、
上式の極限をとると、0 = (3 α - α - 0)2乗.
結局、α = 0 となる。

回答No.2

rnakamra

n>3の場合、
3^n=(1+2)^n>1+2n+2^2*n(n-1)/2+2^3*n(n-1)(n-2)/3!>(4/3)n(n-1)(n-2)
となります。(2項展開したもののうち最初の4項だけをとっています。)
この関係を使えばよいでしょう。

回答No.1

k14i12d

大学では無く、高校の内容かと思います。
n^2/3^n
を微分すると
(2n(3^n)ーn^2×3^n×log3)/3^2n
=(2nーn^2×log3)/3^n
となり、十分大きなnをとると、単調に減少することがわかります。
また、もとの関数はどのような実数nに対しても常に、n^2/3^n>0を満たすことがわかります。
以上より、n→∞で関数→0 がわかります。