距離の誤差について教えてください。

質問

国土地理院の２，５００分の１の地形図は、水平方向の誤差（標準偏差）が２．５ｍと聞きました。
地形図上のある１点が、真実の位置と６８％の確率で、２．５ｍ以内にあるように作図されているということらしいです。

このように、ある１点で捉えたときの誤差については意味が分かるのですが、２点間の距離の場合の誤差というのは、どのように算出するのでしょうか。

１．例えば、地形図上で１００ｍ（地形図上では、４ｃｍ）の道路が表示されていたとします。
　　この道路の誤差は、何ｍくらいになるのでしょうか。

２．また、５０ｍの道路だとしたら、誤差は１００ｍの場合と比べて半分になるのでしょうか。

それとも、上記の条件の下では、誤差は算出できないのでしょうか。

私は文系で数学は苦手なのですが、数学的に教えて頂けると助かります。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

一般にある量fがx,y,z,・・・という変数の関数として

f = f(x,y,z,・・・・)

で与えられており、各変数の誤差がΔx, Δy, Δz,・・・・である場合、fの誤差Δfは

(Δf) = √[ (∂f/∂x)^2(Δx)^2 + (∂f/∂y)^2(Δy)^2 + (∂f/∂z)^2(Δz)^2 + ・・・ ]

で計算します。これは誤差の伝播の法則と呼ばれています。

この地図の場合、一つの点について全ての方向に同じ2.5mの誤差が見込まれるとすると、
二点を結ぶ方向にx軸を取り、2点の位置をx1, x2 (x2>x1)とすると、距離dは

d = x2 - x1
∂d/∂x2 = 1, ∂d/∂x1 = -1,

なので

Δd = √[ (1)^2 (2.5m)^2 + (-1)^2 (2.5m)^2 ] = 2.5 √2 m

の誤差が見込まれます。

ただし、これは読取り誤差がなかったとした話で、

＞（地形図上では、４ｃｍ）

だとすると、4cmという値の読取り誤差もそうとうな大きさになると思われます。
この場合、地図の倍率をM、読取りで見込まれる誤差をδとして、もとの2.5mを

√[ (2.5m)^2 + (M δ[m])^2 ]

で置き換えます。

お礼

分かり易く、さらに読取り誤差まで解説して頂き、感激しました。
ありがとうございました。

「誤差の伝播の法則」というものがあるのですね。
仮に、読取り誤差が無ければ、５０ｍの道路でも１００ｍの道路でも、 2.5 √2 mという理解でよろしいのでしょうか。