回転円板の平面ひずみ状態について
物理の微積分についての質問です。
回転中実円板(円筒座標系:r,θ,z)で平面ひずみ状態(εz=0)とした時、σｒ=｛E/(1+ν)(1-2ν)｝・｛(1-ν)du/dr+ν・u/r｝とσθ=｛E/(1+ν)(1-2ν)｝・｛(1-ν)u/r+ν・du/dr｝となりました。ここで、円板の応力の釣合い式はr・ｄσｒ/ｄｒ+σｒ-σθ+ρ・ω＾2・ｒ＾2=0となっています。
この式のσｒとσθに代入したのちｒについて積分を行うなどして、u=～の形の式にしたいのですが、途中の微積分がうまくできていないせいか(？)なかなかまとまりのある式にならず、困っています。
平面応力状態(σｒ=｛E/(1-ν＾2)｝・｛du/dr+ν・u/r｝、σθ=｛E/(1-ν＾2)｝・｛u/r+ν・du/dr｝、)の時なら、
u=(c1・ｒ)+(ｃ2・1/ｒ)-｛(1-ν＾2)/8Ｅ｝・ρ・ω＾2・ｒ＾3 (ｃ1、ｃ2は積分定数)
といった式になります。
途中の微積分の仕方や詳しい式、uについて求めた式がわかる方がいましたら、ぜひ解き方を教えていただきたいです。
補足
ネットから導出を拾いたい