数学 二次方程式

質問

χ^2-2Pχ+P+2=0が次の条件を満たす解をもつように定数Pの値の範囲を定めよ。

1つの解は３より大きく、他の解は３より小さい。
という問題で二つの解をa、bとして
(a-3)(b-3)<0として解く場合、なぜ解の判別式を使わなくても良いのでしょうか?(D>0)
よろしくお願いします。

回答No.4

noname#182106 · ベストアンサー

補足ですけど

>・・・という問題で解説を見てみると (a-1)+(b-1)>0, (a-1)(b-1)>0, D≧0 というふうに
なぜこっちの問題は判別式を使っているのでしょうか?

(a-1)+(b-1)>0, (a-1)(b-1)>0 でも
a-1 = 1+i, b-1 = 1-i のような場合があるからです。
「和と積が正ならともに正」は実数であるという前提での話です。

>この文から、当該の2次方程式が2つの実数解を持つことは明らかでありますから、D>0となるのは自明なのです

それは a>1, b>1 を連立不等式としてバラバラに使える場合です。
解と係数の関係では和と積しか使えないので、判別式がないと上記のようなことになります。

>分からない解き方は寧ろ有害です。基本通りに解きましょう

おそらく現在数IIをやっていて、「解と係数の関係の利用」の基本問題として要求されてるのでしょう。
「α>0, β>0 のときはα+β>0, αβ>0, D>0」としてるのに
「α<0, β>0 のときはαβ<0」としていて 「D>0 の吟味はいいの？」と疑問に思ったと。

そういう当然の疑問をもつことがすばらしい！　ほとんどの生徒は疑問にすら思わないで例題と同じにようにやるだけですから。
まあDについて突っ込まれると面倒なのでこのパターンはグラフで解いたほうがいいけど、
その理由はちゃんと理解しておいたほうがいいと思います。

基本という意味では数I的解法、数II的解法、それぞれ基本ですので、
両方しっかりできるようにした上で、どちらが楽かをその場で判断して使って下さい。

お礼

詳しくありがとうございます。
完全に理解したわけではないですがわかりました。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#182106

「1つの解が0より大きく、他の解が0より小さい」場合について考えてみましょう。

この場合、ab<0 とすると D = b^2-4ac>0 は常に成立します。
本来はこれを述べておくべきですが、
解答としてはグラフをかいておけば（y軸と負の部分で交わるので）OKということです。

質問の場合、これを右に3平行移動した状態で
D/4 = p^2-p-2 = (p-3)^2-(11-5p) = (p-3)^2-(a-3)(b-3) となるので
(a-3)(b-3)<0 ならば D>0 となりますが、それよりも上と同様に考えて
x = 3 のとき 11-5p = (a-3)(b-3) となることを利用してグラフをかいておくのが無難です。

そもそも数I的解法ではグラフの位置で考えるのが基本ですから、
左辺 = f(x) とおいて、f(3)<0 とするのが普通でしょう。
無理に数II的解法（解と係数の関係）でやるメリットがないです。

回答No.2

saki_nagatsuka

左辺を二次関数として考えて、グラフを描きましょう。
分からない解き方は寧ろ有害です。基本通りに解きましょう。

回答No.1

asuncion

＞なぜ解の判別式を使わなくても良いのでしょうか?

判別式の前に「解の」という用語は付かないと思います。
「解の公式」と混同されているようでしたら、この機会に
見直される方がよいと思います。
さて、
なぜ判別式を使わないかというと、

＞1つの解は３より大きく、他の解は３より小さい。

この文から、当該の2次方程式が2つの実数解を持つことは明らかでありますから、
D > 0となるのは自明なのです。

お礼

ありがとうございます。

私もそのように思ったのですが、
この問題の(1)で

2つの解がともに1より大きい

という問題で解説を見てみると (a-1)+(b-1)>0 (a-1)(b-1)>0 D≧0 というふうに
判別式もやっていたのでわからなくなりました。
なぜこっちの問題は判別式を使っているのでしょうか?