SPI非言語「集合」

質問

この前SPIを受けたときに出てきた問題で、
どうしてもわからなかった問題があるので、
解き方を教えてください。

集合の問題で、４つ集合が提示されます。
たとえば、10人おともだちがいて、
イチゴが好きなのは6人、
オレンジが好きなのは9人、
ブドウが好きなのは4人、
モモが好きなのは8人、といった具合です。

問題は、全部当てはまる（この場合全部好きな）人は
少なくとも何人ですか、みたいなものでした。

２つずつに分ければいいのか？と思って試行錯誤しましたが
どうしてもわからずカンで選択したのですが…。
どのように考え、とけばいいのでしょうか？
教えてください。

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

ふたつの場合から解いてみましょう．上の例にならって
U = おともだち
A = イチゴ好き
B = オレンジ好き
とおき，それぞれの人数をN(*)で表しましょう．たとえば N(U) = 10 といった具合です．すべてに当てはまる人が一番少なくなるように既になっていたとします．A, B の両方にあてはまる人の数をN(AB)とすれば次の式が成り立ちます：
N(U) = N(A) + N(B) - N(AB).
つまり最初にダブルカウントを許して数えた後に重複分を引けば全体と一致します．したがって N(AB) = 6 + 9 - 10 = 5
です．（この場合はこんな面倒なことをしなくても直感的に答えはわかるでしょうが．）

同様に
C = ブドウ好き
D = モモ好き
とします． 先の例と同じように考えると出題された問題の場合は
N(U) = N(A) + N(B) + N(C) + N(D)
- N(AB) - N(AC) - N(AD) - N(BC) - N(BD) - N(CD)
+ N(BCD) + N(ACD) + N(ABD) + N(ABC)
- N(ABCD)
となります[画像，参考URL]．おなじように計算すれば求める数 N(ABCD) が出るはずです（ものぐさなので自分の手を動かしてません；確かめてみてください）．

上の考え方は『包含排除の原理 (Principle of inclusion and exclusion, P.I.E.)』とかいう結構な名前がついてます．条件がふたつの場合は直感的に明らかすぎるので意識をしませんが，いくつもの条件があるときにものを数えるには重宝する考え方です．

参考URL：

http://images.tutorvista.com/cms/images/98/Venn%20four.PNG

お礼

事細かく説明して頂いてありがとうございます。
ちょっと頭が混乱しましたが（笑）、
冷静に解いていけば正解にたどりつけそうですね！
参考にさせていただきます！
回答ありがとうございました！