単位換算

質問

地球を回る人工衛星は抵抗力の作用でエネルギーを失う。単位時間当たりのエネルギー損失は大気の密度ρ、衛星の速度v、衛星の大きさdによると考えられる。
無次元の係数を覗いてどのような式で表されるか。

答えがρv^2d^2となっていました。

導出までの一連の過程を丁寧に解説していただきたく存じます。
理解したいだけでいつまでとは時間は決まっていませんのでお時間がございましたら是非ご教授ください。

回答No.1

okormazd · ベストアンサー

次元解析という手法です。

エネルギーの単位はたとえば、[J]=[kg m^2 s^(-2)]です。これをもっと基本的に、質量を[M]、長さを[L]、時間を[T]であらわしたものを次元式といいます。エネルギーなら[M L^2 T^(-2)]ということです。単位時間あたりなら、これを時間で割ったものだから、
[ML^(2)T^(-3)]
になります。

「単位時間当たりのエネルギー損失は大気の密度ρ、衛星の速度v、衛星の大きさdによる」とすれば、
ρ、v 、dを適当に掛け合わせたものが単位時間当たりのエネルギーの次元を持つはずだと考えます。

ρの単位はたとえば、[kg m^(-3)]で、この次元式は、[ML^(-3)]です。同様に、vは、[LT^(-1)]、dは[L]です。
これらを、適当に掛け合わせてそれが単位時間当たりのエネルギーの次元を持つようにすればいいのです。ただ、掛け合わせてもダメなので、それぞれ何乗かして掛けます。すなわち、

ρ^a・v^b・d^c=[ML^(-3)]^a・[LT^(-1)]^b・[L]^c=[M L^2 T^(-3)]

として、それぞれの次元が、左辺=右辺となるようにa、b、cを決めます。この場合は簡単で、a=1、b=3、c=2になります。

以上は、どんな単位でもいいように一般的な話をしたのですが、単位をたとえば[kg]、[m]、[s]を使うことにすれば、単位で考えても同じことです。すなわち、

ρ^a・v^b・d^c=[kg m^(-3)]^a・[m s^(-1)]^b・[m]^c=[kg m^2 s^(-3)]

として、左辺と右辺のそれぞれの単位が合うようにa、b、cを決めればいいでしょう。

決め方の例
簡単な連立方程式なのですが、式を立てるほどのこともありません。
[kg]は右辺に1つしかないから、左辺も1つにするにはa=1です。[s]が右辺が-3だから、b=3 です。[m]は、右辺が2で、左辺の-3+3=0は決まりだから、c=2とすればいいことがわかります。

あれ、質問にある答えと合わないね。質問の答えだと、
[kg m^(-3)]^1・[m s^(-1)]^2・[m]^2=[kg m s^(-2)]
で、エネルギーの単位じゃない、力になってしまうが、抵抗力を求めたのかな。

お礼

長い解説にも関わらず丁寧に一つ一つご指導下さり誠にありがとうございます。
問の文章はすべてコピペですので出題者が恐らくほかの回答者さんもおっしゃられるよう抵抗力を指して問題を提示しているのではないかと存じます。

ご指導を賜りました解法を一つ一つ丁寧に把握できるように努めます。

ありがとうございました。

回答No.2

funflier

表題と内容の関係性が無い気もしますし、出されている問題と正解の関連に
疑問があります。以下は私に解ることだけです。

＞答えがρv^2d^2となっていました。
これは「単位時間当たりのエネルギー損失」ではなく、題意のとおりに無次元
の係数を省いた、航空力学上の「抗力」そのものです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%97%E5%8A%9B
この式の次元は重力単位系で表せば、
空気密度ρ：kg・s^2／m^4　、速度ｖ：m/s　、大きさ＝長さ：m なので、
kg・s^2／m^4・（m/s）＾2・m＾2 ＝　kg (=kgf or kgw）で「力または重量」
となります。

「ρv^2d^2」の式が出てくる経緯は、一旦抗力の計算式を立てます。
抗力　D＝1/2・ρ・V＾2・Cd・S　ですから、衛星の大きさ「d」というのを
仮に球体の半径とすれば、代表面積　S=d^2・π　であり、ここで無次元係数
は除くので、「1/2、Cd、π」の３項が消え、与えられている正解式となります。

ここで「抗力計算式の導出の過程」まで触れると、これは航空力学書で
数ページを費やして書かれていることであり、前提として知っていなくては
ならないことがさらに数ページ分あるのでここでは記述することが出来ません。
こうした専門書をご覧になってください。
http://www.amazon.co.jp/%E8%88%AA%E7%A9%BA%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E-%E7%89%A7%E9%87%8E-%E5%85%89%E9%9B%84/dp/4782840705

最近、抗力計算のご質問に答えた例があります。
http://okwave.jp/qa/q7789684.html

お礼

ご親切に解説だけでなくリファレンスの添付までご教授下さり誠にありがとうございます。