最初の質問に関する再質問

質問

先ず先の質問に対し、御回答を下さった3名の皆様、有難うございます。
お礼が遅れましたことをお詫び申し上げます。
実は未だ理解できていないのです。

積分の一般的な公式は、∫[下限a、上限b]X＾ndx=[X^n+1/n+1]（下限a、上限b）
となるはずです(符号の変化は見られません）。
それが(1-t)^2の場合、積分すると符号がマイナスになることが理解できないのです。
但し、マイナスを付けないと、答えが違うことだけは確認できています。
私は、何か重要な公式でも見落としている（又は全く理解できていない）ので
しょうか。
何度も質問して申し訳ありません。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

「最初の質問」というのは、コレ↓のことですね？
http://okwave.jp/qa/q7809798.html
プロフィールのページで質問履歴を非公開にしてるから、
ずいぶん探しましたよ。
最初の質問の A No.1 で尽きているように思うけれど、
どこが解らなかったのでしょうか？
それによって、説明すべきことは違ってくると思いますが。

X = 1-t で変数変換すると、
∫[下限a、上限b] (1-t)^2 dt
= ∫[下限a、上限b] X^2 dt
= ∫[下限1-a、上限1-b] X^2 (dt/dX) dX
= ∫[下限1-a、上限1-b] X^2 (-1) dX
= ∫[下限1-a、上限1-b] -X^2 dX
= [-X^3/3](下限1-a、上限1-b)
となります。

二行目から三行目への変形が、いわゆる「置換積分」です。
-1 は、四行目に、dt/dX の値として登場しますね。
X = 1-t と置いたので、dt/dX = -1 になるのです。
五行目から六行目への変形に、貴方の「一般的な公式」を
使っています。

お礼

やっと理解できました！
本当に有難うございます。

回答No.1

info22_

>(1-t)^2の場合、積分すると符号がマイナスになることが理解できないのです。
マイナスになりません。

∫[a,b] (1-t)^2 dt=∫[a,b] (t-1)^2 dt
=[(t-1)^3/3] [a,b]
=(1/3)[(b-1)^3 -(a-1)^3]
=...

∫[a,b] (1-t)^2 dt
=[-(1-t)^3/3] [a,b]
=(1/3)[-(1-b)^3 +(1-a)^3]
=(1/3)[(b-1)^3 -(a-1)^3]
=...

どちらでも同じ結果になります。

u=1-tと置換しても　du=-dt ゆえ
∫[a,b] (1-t)^2 dt
=∫[1-a,1-b] u^2 (-du)
=-[u^3/3] [1-a,1-b]
=-(1/3)[(1-b)^3 -(1-a)^3]
=(1/3)[(b-1)^3 -(a-1)^3]
=...

と同じ結果が得られます。