高校の数学II・Ｂの問題です

質問

C1:ｙ＝－3x^2+3

C2:y＝ｘ^2-2ax-2a^2+3　　　　　　（　0<a<1　）

C1とx軸が囲む面積がC2によって二等分される時のaの値を求めよ

この問題の答えとその求め方を教えてください

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

C2はx=aを対称軸としx=aで最小値3(1-a^2)>0をとる。

C1とC2を連立して交点を求めると

－3x^2+3＝ｘ^2-2ax-2a^2+3

を解いて

　2x^2-ax-a^2=0

(x-a)(2x+a)=0

よって交点はx=a, x=-a/2

0<a<1の条件のもとにC1、C2、交点を描くと

C1とx軸が囲む面積はC2により上下に分割されることがわかる。

上をS１,下をS2とすると条件は

S1＝（S1+S2)/2

S1=∫(-a/2→a)[-3x^2+3-(x^2-2ax+3-2a^2)]dx

(S1+S2)/2=(1/2)∫(-1→1)[-3x^2+3]dx

積分を実行して

S1=9a^3/4

(S1+S2)/2=2

よって

a=2/3^(2/3)