f(x)=|sin2x|cos2x (0≦x≦π)

質問

f(x)=|sin2x|cos2x (0≦x≦π)の極値を教えてください。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞f(x)=|sin2x|cos2x (0≦x≦π)の極値を教えてください。

0≦x≦πより、０≦２ｘ≦２π
０≦２ｘ≦πのとき、｜sin２ｘ｜＝sin２ｘだから、
０≦ｘ≦π／２　…（１）のとき、
ｆ（ｘ）＝sin２ｘcos２ｘ＝（１／２）sin４ｘ　……（２）
π＜２ｘ≦２πのとき、｜sin２ｘ｜＝－sin２ｘだから、
π／２＜ｘ≦π　…（３）のとき、
ｆ（ｘ）＝－sin２ｘcos２ｘ＝（－１／２）sin４ｘ　……（４）
（２）より、
ｆ'（ｘ）＝（１／２）・４・cos４ｘ＝２cos４ｘ
（４）より、
ｆ'（ｘ）＝（－１／２）・４・cos４ｘ＝－２cos４ｘ
ｆ'（ｘ）＝０より、どちらも、cos４ｘ＝０
0≦x≦πより、０≦４ｘ≦４πだから、
４ｘ＝π／２，３π／２，５π／２，７π／２より、ｘ＝π／８，３π／８，５π／８，７π／８
（１）より、（２）では、
０≦ｘ＜π／８のとき、ｆ'（ｘ）＞０，π／８＜ｘ＜３π／８のとき、ｆ'（ｘ）＜０
３π／８＜ｘ≦π／２のとき、ｆ'（ｘ）＞０だから、
ｘ＝π／８のとき、極大値ｆ（π／８）＝１／２，
ｘ＝３π／８のとき、極小値ｆ（３π／８）＝－１／２
（３）より、（４）では、
同様に増減を調べて、
ｘ＝７π／８のとき、極大値ｆ（７π／８）＝１／２
ｘ＝５π／８のとき、極小値ｆ（５π／８）＝－１／２

よって、
極大値１／２（ｘ＝π／８，７π／８のとき）
極小値－１／２（ｘ＝３π／８，５π／８のとき）

どうでしょうか？　増減表を作って確かめて下さい。

補足

ここまでは私もたどりつきました。解答がマーク式になっており、ｘ＝[ A ]のときも極大値[ B ]をとる。と書いてあります。[解答]はA＝π/２、B＝0です。これがどうしてもわかりません。

回答No.2

misumiss

f(x) が x = a で極値をとるとき, f(x) が x = a で微分可能である必要はなく, したがって f'(a) = 0 である必要はありません。
y = f(x) のグラフを描いてみてください。
x = π/2 で, f(x) が増加から減少に変わっているのが, 容易にわかると思います。
よって, f(x) は x = π/2 で極大となります。