正弦曲線に関する証明

質問

質問です。どうしてもわからなくて…。
ちょっと太めのソーセージに四角形の紙を斜めに巻いていって、紙をソーセージごと斜め一直線に切るとします。もしソーセージなどの筒状のものがなければ、切った紙はただの折れ線になるはずなのですが、ソーセージごと切った場合は、正弦曲線の形になるんです。
この時できた図形が正弦曲線であることを証明するためにはどうすればよいでしょうか？？

回答をお待ちしてます。よろしくお願い致します。

回答No.1

wolv · ベストアンサー

ソーセージ上の点(x,y,z)を
　（r cosφ, r sinφ,z）
切断面を
　z = a y
とします。

紙を斜めに巻いても、海苔巻きのようにまいても、紙の切断のされかたは変わらないので、まっすぐに巻いたとして考えます。

ソーセージからはがした紙の上での座標をu,vとします。

┌│ソ│───┐
││｜│ｖ　紙│
││セ│↑　　│
││｜│　→ｕ│
└│ジ│───┘

　v = z, u = r φ

式だけ抜き出すと、
　z = a y
　v = z, u = r φ
　x = r cos φ, y = r sinφ, z = z
です。これらから、

　v = a r sin（u/r）

よってu,vの作る図形は正弦曲線といえます。