３÷３×３の計算手順について

質問

いつも大変お世話になっております。

　今まであまり意識したことがなかったのですが、３÷３×３の計算において、
左から順に計算すれば問題はないと思います。＋－のみの混合計算で、原則
左から計算するのでしょうが、実際は＋同士、－同士を計算して、その後それらの計算
をするとか、＋－の組み合わせで値をなるべく小さくして計算を進めるなど
原則通りの必要はないと思います。
　また、×のみの計算でも原則通り（左から）ではなく、計算しやすい組合せで
計算を進める方が多いのではと思います。
　しかし、３÷３×３のような×÷のみの混合演算になると、÷３を×（１/３）に
すれば計算の順序は好きなようにすることができますが、÷３のままで計算を
行うとすると左から順に計算しないと間違った数字が得られます。
　つまり、３÷３×３を３÷（３×３）と順序を変えるのはマズイのですが、なぜマズイのか
が説明いただけないでしょうか。おそらく÷は交換法則が原則成り立たないからではと
思うのですが、そのことがよくわかっておりません。

　お忙しいところ、大変申し訳ございませんがよろしくお願いします。

回答No.2

shure-neko · ベストアンサー

乗算には乗数、被乗数の関係があり、
除算には除数、被除数の関係があります。

乗算は、実数a,bとして、ab = ba のように可換です。この場合、乗算は可換ですので、結局どちらが乗数、被乗数でも良いことになります。
しかし除算に関しては、可換とは言えません。a÷b = b ÷a は一般には成り立ちませんよね。つまり、除数、被除数が決まっていることになります。

これらを踏まえて、改めて式を見ましょう。

質問の式で言うと、３÷３×３の最初の３が被除数、２番目の３が除数です。
ということは、３÷３×３の最後の３は最初の３にかかっていることになります。
ですから、後ろの掛け算を先に計算してしまうと３÷（３×３）で、除数がもとの３倍になってしまっています。

この場合、最初の式を”見やすくかつ式の意味を変えないように”書きかえるならば、除数、被除数の関係を考慮して、
３×３÷３とするべきです。
このように書き変えたら、最初の２つを先に計算しようと、後の２つを先に計算しようと答えは同じになります。

ですから、結論を言いますと、乗数、被乗数、除数、被除数の関係を考慮して、きちんとした順番のものであった場合（この質問で言うと書きなしたもの）掛け算を先に行おうが、割り算を先に行おうが答えはきちんと一致します。
すべては、乗数、被乗数、除数、被乗数の関係を無視した結果起こる矛盾なのです。

説明が下手でしたが、お役にたてれば幸いです。
今一度、乗数、被乗数、除数、被乗数の関係を見直してみてください。
しっかりと掛け算の意味、割り算の意味が分かるようになるはずです。

お礼

shure-nekoさん

　ご回答いただきありがとうございました。
　質問の書き方が悪く皆さんに誤解を与えてしまったようです。
　（フォローいただき感謝致します。）

回答No.10

suko22

大学教授に直接聞いてみてください。

各大学のホームページから大学教官のＨＰへいけます。
アドレスを公開されているかたもいます。

例えば、

Ｓ大学理学部数学科
http://www.sci.shizuoka.ac.jp/staffs.html

Ｋ大学理学部数学科
http://www.math.kyoto-u.ac.jp/people/index.ja.html

答えてもらえるかはわかりません。自己責任でお願いします。
私は数学科の出ではないのでだれがどんな人なのかは全然知りません。

ただ、大学教官の中にはこういうものにも答えてくれる人はいるはずです。
かなりまれであるとは思いますが。

教育学部の数学系の教官もいいかもしれません。

私はこの問題に関しては深入りしようとは思いません。
なぜかと申しますと、これは規則であると考えているからです。「3を3で割ってからその結果に対して3をかける」が決まりであるからで、そしてこれ以上このことについて議論する意味を見出せないからです。実際の数字同士の四則演算においては、規則を守って計算すればいいだけのことと考えています。

質問者さんが本気で気になるのでしたら、この手の議論はここで聞くより専門家に聞いたほうがいいと思います。

ご参考まで。

お礼

suko22さん

　丁寧なご回答ありがとうございました。

回答No.9

alice_44

数式は数学の文章ですから、書きかた・読みかたに文法があります。
事実として (3÷3)×3 と 3÷(3×3) の値が異なる以上、
3÷3×3 がそのどちらを表す式かには取り決めが必要です。
で、掛け算・割り算の並びは左から順に括弧をつける約束
になっているのです。

お礼

alice_44さん

　ご回答いただきありがとうございます。
　参考にさせていただきます。

回答No.8

akina_line

こんにちは。

　下記の質問のペーストアンサーをご参照ください。
　　http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1020488740
　　難しい説明ですが、この中で「n÷m=n×1/m」と言う説明が出てきます。
　　そこで３÷３×３を３×１／３×３とすれば交換可能ではないでしょうか。(あくまでも１／３は1つの数値として考えてくださいね。)

では。

お礼

akina_lineさん

　ご回答いただきありがとうございます。
　参考にさせていただきます。

回答No.7

Knotopolog

下記を参考にしてみて下さい．
---------------------------------------
6÷2（1+2）＝？
QNo.6719227 投稿日時 - 2011-05-07 00:09:54
smith84
http://okwave.jp/qa/q6719227.html
---------------------------------------
このテの議論に，私は参加しません．時間の無駄だと思っておりますので・・・．
以上です．

お礼

Knotopologさん

　ご回答いただきありがとうございます。
　参考にさせていただきます。

回答No.6

shure-neko

＃２です。

皆様、この質問者さんが疑問に思っているのは、掛け算は好きな順番で計算してもいいのに、割り算との混合ではそのようなことをしてはいけないのはなぜなのか？
というようなものだと思いますので、なぜ括弧を括って計算しているんだ！という指摘は、確かにそれにかかわることではあるとは思いますが、あまり的を射たものではなと思います。

どうでもいいかもしれませんが・・・。
でしゃばってすいません。
でもどうしても言いたくなってしまってので。

お礼

shure-nekoさん

　ご回答いただきありがとうございました。
　質問の書き方が悪く皆さんに誤解を与えてしまったようです。
　（フォローいただき感謝致します。）

回答No.5

shure-neko

＃２です。

いらぬお世話かもしれませんが。
先ほどの私の解答を見て、じゃあ、最初の式も順番が間違っていたら、答えは間違っていることになるのでは？
というような誤解も生まれてしまいそうなので一応言っておきますが、最初の式は左から計算する分には正しい順番ですから、もちろん答えはあっています。
というか、かっこがない掛け算割り算の混合した式は、左から見た場合は全てあっています。
小学校で左から計算しましょうと言われたのは、左からなら順序を気にしなくても絶対に答えが正しくなるからです。
逆に、掛け算は可換なので、どんな順番であろうともＯＫ。（乗数被乗数の関係がないのと一緒だから）
だからやりやすいように入れ替えてもいいよ、ということなんですよね。

以上補足です。参考にしてみてください。

お礼

shure-nekoさん

　ご回答いただきありがとうございました。
　質問の書き方が悪く皆さんに誤解を与えてしまったようです。
　（フォローいただき感謝致します。）

回答No.4

Rice-Etude

加減算で交換が成り立つと思っているのはもしかして
3-3+3=3+(-3)+3=3+3+(-3)=3+3-3
という意味でしょうか？

もしこういう意味なら、無意識的に二項演算子としての「-」と、正負を表す符号としての「-」を考慮しているからです。

＃本来「-」は交換則が成り立たないのはNo.1の方のおっしゃる通りです。

それに対し、「÷」は二項演算子だけので、加減算のようにそのまま適用はできないものと思われます。

ここで個人的な考え方ですが、加算や積算だけで考えればいかがでしょうか？
質問でも「÷３を×（１/３）にすれば」とおっしゃってますが、加算も無意識的にやっている部分を明確化すれば「-3を+(-3)にすれば」交換則が成り立つわけです。そうであれば
3÷3×3＝3×(1/3)×3＝3×3×(1/3)＝3×3÷3
で、減算の時と似たようなことが実現できているのかなと思うのですが...

お礼

Rice-Etudeさん

　丁寧なご回答ありがとうございます。

回答No.3

EleMech

＞つまり、３÷３×３を３÷（３×３）と順序を変えるのはマズイのですが、

これがいけないのは、わざわざ（３×３）と括弧でくくった点です。
括弧というのは一くくりにするという意味なので、最初の式３÷３×３を勝手に一くくりに変更して、全く別のものにしてしまっています。
×や÷が悪いのではありません。
数式の関係性を保たなくては＝とは呼べないという事です。

ちなみに乗商算は、分子、分母に変換してまとめると分かり易くなります。
まとめ方は、数字とその前の算術記号が一まとめになります。
　　３÷３×３
　＝３　÷３　×３
　＝３　×３　÷３
　＝３×３／３
　＝３

お礼

EleMechさん

　ご回答いただきありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

乗除算だけ気になって, 加減算では気にならないのでしょうか? つまり,
「３÷３×３を３÷（３×３）と順序を変えるのはマズイ」
のが (ダメなことは分かっても) 理由が分からないのに対し,
3-3+3 を 3-(3+3) としてはいけない
のは理由もはっきりわかるのですか?

お礼

Tacosanさん

　ご回答いただきありがとうございます。