ユークリッドの互除法

質問

(1)a,bは互いに素な整数である。
(2)a,bについて、1 = ra + sb が成立する(a,b,r,sは整数)

この2命題の関係性を調べよ、という問題があります。

以下の回答は正しいでしょうか。

ディオファントゥスの定理(ベズーの等式)より、a,b二数の最大公約数をdとする時、整数r,.sを適切に取ると、d=ra+sb
(ディオファントゥスの定理は別途証明することとします。具体的な証明はhttp://questionbox.jp.msn.com/qa7620419.htmlでしています)
よって、d=1の時、(1)は(2)の必要十分条件である
上述の定理においては(1)と(2)が同義のため、一言で書いていますが、これで通用する書き方なのか疑問に思っています。

回答No.1

uyama33 · ベストアンサー

証明に何を書くかは状況によって異なると思います。

例えば、

3+2＝5
を、当たり前と言って済ませるか、
証明をつけるかは、学んでいる状況で異なります。
基礎論を勉強しているときは、
自然数の定義によって何種類かの証明が考えられますが、
普通は証明しません。＜当たり前です＞

ご質問の内容を見ると、

(1)a,bは互いに素な整数である。

自然数ではないのですから、イデアル論（環論）を学んでいるのだと思います。
したがって、素イデアル、単項イデアル、ユークリッド環などの扱いが証明の中心になると思います。

さらに、ユークリッドの互除法などは常識の部類に入るのでその部分の証明は書かないのだと思います。
もちろん、自然数の定義や、整数の構成、和、積の説明などはとても書ききれません。

ただし、当たり前と言われても忘れてしまったり、証明できない部分がそれぞれの人にとって異なる
のも、事実です。欠けている知識の部分は自分で調べたり考えたりして補うべきですが、それを書かないと証明として通用しないと言うわけではないとおもいます。