ユークリッドの互除法について

質問

ｆ(ｘ)＝ax+b,g(x)=cx+dとする。ad-bc≠0であるときf(x)とg(x)の最大公約数d(x)を求めよ。またd(x)=f(x)s(x)+g(x)t(x)となるs(x),t(X)を求めよ。　
なんですが、参考書を見ても全然分からず、困っています。どなたか教えてください。

回答No.1

waseda2003 · ベストアンサー

２元1次連立方程式を解く要領でxを消去して

　　a*g(x)-c*f(x) = ad-bc

ad-bc≠0より

　　(a/(ad-bc))*g(x)-(c/(ad-bc)*f(x) = 1

と表されて，最大公約数d(x)は１の約数ですから，
次数の最大性より

　　d(x) = 1

です。また，上の式より

　　s(x) = -c/(ad-bc)，t(x) = a/(ad-bc)

となります。
ちなみに，多項式の整除を考えるときは０でない定数は
１と同一視しますので，最大公約数d(x)を求めるだけで
あれば，ad-bcで割る必要はありません。

なお，ユークリッドの互除法とは，
　　A = BQ+R のとき gcd(A，B) = gcd(B，R)
となることを用いて最大公約数を求める方法のことで，
本問の場合 a≠0またはc≠0 の仮定がないと使えません
し，上のように直接的に考えた方が簡単です。

お礼

ありがとうございました。ユークリッド互除法の使い方まで書いていただいて、内容も分かりやすく、とてもためになりました。本当にありがようございました。