△ABTの外接円において、点Tで接線を引く・・・・

質問

△ABTの外接円において、点Tで接線を引く。BAの延長線とこの接線の交点をRとする。AB=5、RT=6とし、この接線上にTについてRの反対側に、TQ=4なる点Qをおき、AQとBTの交点をP、PRの延長線とBQの交点をSとする。 このとき、
AR=4、QS/SB=8/15、AP/PQ=5/6、△ATP/△BPQ=□である。

□の部分をお願いします！

回答No.2

ferien · ベストアンサー

上の通りに図が描けているとします。
△ＢＲＱ，△ＡＲＱ，△ＢＡＱで、頂点をＱと見ると３つとも高さは同じだから、
面積比＝底辺の比になるから、
△ＢＲＱ：△ＡＲＱ：△ＢＡＱ＝ＢＲ：ＡＲ：ＢＡ＝９：４：５より、
△ＡＲＱ＝(4/9)△ＢＰＱ，　△ＢＡＱ＝(5/9)△ＢＰＱ
△ＡＲＱと△ＡＴＱで、頂点Ａと見ると高さが同じだから、
△ＡＲＱ：△ＡＴＱ＝ＲＱ：ＴＱ＝１０：４＝５：２より、
△ＡＴＱ＝(2/5)△ＡＲＱ＝(2/5)×(4/9)△ＢＰＱ
△ＡＴＱと△ＡＴＰで、頂点をＴと見ると、
△ＡＴＱ：△ＡＴＰ＝ＡＱ：ＡＰ＝１１：５より、
△ＡＴＰ＝(5/11)△ＡＴＱ＝(5/11)×(2/5)×(4/9)△ＢＰＱ　……（１）
△ＢＡＱと△ＢＰＱとで、頂点をＢと見ると、
△ＢＡＱ：△ＢＰＱ＝ＡＱ：ＰＱ＝１１：６より、
△ＢＰＱ＝(6/11)△ＢＡＱ＝(6/11)×(5/9)△ＢＰＱ　……（２）
よって、（１）（２）より、
△ＡＴＰ：△ＢＰＱ
＝(5/11)×(2/5)×(4/9)：(6/11)×(5/9)
＝５×２×４：６×５×５
＝４：１５
よって、△ATP/△BPQ＝４／１５

回答No.4

yyssaa

△ATR=Sとする。
△ATR/△ATQ=6/4(AからRQへの垂線の長さが共通)
△ATQ=(4/6)△ATR=(4/6)S=(2/3)S・・・(ア)
△ATP/△PTQ=AP/PQ=5/6(TからAQへの垂線の長さが共通)
△PTQ=(6/5)△ATP
△ATQ=△ATP+△PTQ=△ATP+(6/5)△ATP=(11/5)△ATP
(ア)より△ATP=(5/11)△ATQ=(5/11)(2/3)S=(10/33)S・・・(イ)
△ATR/△ATB=4/5(TからBRへの垂線の長さが共通)
△ATB=(5/4)△ATR=(5/4)S
△ATB/△AQB=(6/10)(TからBRへの垂線の長さと、QからBRへの垂線
の長さの比はRT/RQ=6/10)
△AQB=(10/6)△ATB=(10/6)(5/4)S=(25/12)S・・・(ウ)
△BPQ/△BPA=PQ/AP=6/5
△BPA=(5/6)△BPQ
△AQB=△BPQ+△BPA=BPQ+(5/6)△BPQ=(11/6)△BPQ
(ウ)より△BPQ=(6/11)△AQB=(6/11)(25/12)S=(25/22)S・・・(エ)
(イ)(エ)より
△ATP/△BPQ={(10/33)S}/{(25/22)S}=(10/33)(22/25)=4/15・・・答え

回答No.3

151A48

♯１です。訂正
４：５とあるのは，４：１５の間違いでした。すみません。

回答No.1

151A48

メネラウスの定理を使ってPT：PB=８：２５
PA:：PQ＝５：６　で，∠TPA=∠BPQ　ですから
△ATP：△BPQ＝８×５：２５×６＝４：５

∵
△ATP＝(1/2)PT・PAsin∠TPA=(1/2)(8/33)BT(5/11)AQsin∠TPA
△BPQ＝(1/2)PB・PQsin∠BPQ=(1/2)(25/33)BT(6/11)AQsin∠BPQ