水面に浮く容器の問題

質問

次の問題の（5）がわかりません。どうか教えてください。また途中経過も間違っているかもしれないので間違いがありましたらご指摘ください。

問題

　　下図のように大気圧Paが作用する水面に、上部が開放されている直径Dの円筒形の容器が深さ　h_1だけ沈められて固定されている。容器の高さはHで、その底部には栓を介して内径ｄの曲がり　　管が接続されている。このとき以下の諸量を求めなさい。ただし水の密度はρ、重力加速度はｇと　する。体積密度はρに比べて無視できるほど小さいとし、全ての損失は無視してよい。

（1）栓をしているとき容器に作用する浮力を求めなさい。

（2）栓をとると、曲がり管から水が噴出する。栓をとった直後の流速uを求めなさい。曲がり管の先端　　は容器の底面からh_2だけ深い位置とする。

（3）栓をとったままにしておくと容器内に水がたまり始める。容器内の水の体積は水平を保つとし　　　　て、その底面から高さを時間の関数h（t）で表わすとき、容器内の水の体積はπD^2h(t)/4と書け　　る。一方、その時の曲がり管からの水の噴流速度u(t)は次式で与えられる。
　　　　　　　u(t)=√（2g(h_1-h(t))

　　容器内の水の体積とu(t)の関係を表す微分方程式を示しなさい。

（4）栓をとったままにしておくとh（t）は容器の外の水面と同じ位置まで上昇して静止する。前門の微　　分方程式を解くことにより、栓をとってから水面が静止するまでの所要時間を求めよ。

（5）栓をとったまま容器を図の左側に一定速度Uで水平に走行させると、曲がり管を通じて水がさら　　に容器の中に入り込む。このとき容器の上部から水が溢れないための速度Uの条件を求めよ。
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（自分の答え）

（1）アルキメデスの定理より

　　　　　　ρVg=ρDHg

(2)曲がり管の下端の位置と容器の底の位置でベルヌーイの定理を適用すると

　　　　 u^2/2g=h_2
u=√(2gh_2)

(3)微小体積dVが微小時間dtの間に増える体積変化と水が容器に流入する速度は等しいので

　　　　　　ｄV/dt=u(t)

　　　　　　{（πD^2)/4}*dh/dt=√（2g（h_1－h））

（4）上の式を積分して

　　　　　　－2√(h_1-h)={4√(2g)}/(πD^2)+C

　ここでt=0のときh=0より

　　　　　　　　－2√h_1＝C

　　　　　　－2√(h_1-h)={4√(2g)}/(πD^2)－2√h_1
　　栓を取ってから水面が静止するまでの時間はh=h_1を代入することにより求まる。

　　　　　　t＝{(πD^2)/2}*√(h_1/2g)

(5) わかりません

回答No.2

el156 · ベストアンサー

(1) 浮力は水深差による圧力差に起因する上向きの力です。容器の底に加わる水圧はρgh1で、底の面積はπD^2/4ですから、浮力はこれを掛け算してρgh1πD^2/4だと思います。
(2) 管の出口の高さ、即ち容器の底の高さの外側の水圧はρgh1です。容器の底から水が吹き出せば吹き出した後の水の静圧はゼロ(大気圧)となって全てが運動エネルギーに変わりますから、ベルヌーイの定理の式は、ρgh1=ρu^2/2です。h2の区間は位置エネルギーと圧力エネルギーが交替するだけですから、水の粘性を無視する場合には管の長さは噴き出す水の運動エネルギーに影響しません。
(3) お考えの式ですと、次元が合いません。体積の時間部分は流量ですから、流速に断面積πd^2/4を掛ける必要があります。
従いまして、(d/dt){πD^2h(t)/4} = u(t)*πd^2/4、即ち、dh(t)/dt = u(t) = √(2g(h1-h(t)) となると思います。
(4) 省略させて頂きます。計算してみて下さい。
(5) 曲がり管を通じて入って来る水の単位体積当たりのエネルギーが、動圧ρU^2/2だけ増大します。これが溢れる直前のH-h1の高さ分の静圧、ρg(H-h1)と等しい、とすれば良いと思います。

補足

回答ありがとうございます。

つまり
　　　U=√(2g(H-h_1))
でしょうか？

回答No.4

el156

No.2の補足にお答えします。
(5)に関し、
ρU^2/2 = ρg(H-h1) … [ベルヌーイの定理]
U^2/2 = g(H-h1)
U^2 = 2g(H-h1)
U=√2g(H-h1) … [トリチェリーの定理]
ですから、補足で仰る通りです。

(1)は、浮力の正体が水深方向の圧力差であることを考えればご理解ただけるのではないかと思います。
(2)、(3)についても、最初のご質問に記載の質問者の方のお考えは違っていると思うので、考えてみて下さい。
ベルヌーイの定理は、損失が無い限り、流線上で、
「単位体積当たり位置エネルギー」＋圧力(静圧)＋「単位体積当たり運動エネルギー」(動圧)
の合計が一定です。
水深方向では深さに依存して「単位体積当たり位置エネルギー」と圧力が交換されることになります。
吹き出し位置では、圧力が「単位体積当たり運動エネルギー」と交換されます。

お礼

色々とご指摘いただきありがとうございました。

回答No.3

noname#175206

補足、承りました。#1です。

>cozycube1さんのお考えはel156さんと考え方が違うだけで同じ答えなのでしょうか？

　どうでしょう、ちょっと即座には言えない感じですね。(1)～(4)は見ていませんし、(5)も部分的に見ただけです。

　ただ、#1で(5)についてh_2を考慮したのは間違ってるようです。容器の深さにh_2も考慮すると早とちりした感じです

　たとえば（2）では、容器底につながる配管から噴出する水の初期速度は、h_2の深さによる配管入口の圧力の高さと出口まで溜まった水の圧力で相殺されるでしょうしね。それは(5)についても言えそうです。

補足

なるほどh_2は考慮しなくていいわけですね。

回答No.1

noname#175206

(1)～(4)はちょっと見てませんが、(5)だけ少し。

　水がH+h_2の高さまで溜まったときに、曲がり管から出ようとする圧力と、容器を動かしたために、それを抑えようとする速度Uによる水の圧力が釣り合えばいいわけです。

　さらにh_1だけ沈んでいますから、曲がり管から出ようとする圧力は、高さH－h_1＋h_2による圧力になります。

　速度Uの水による圧力との釣り合いを考えるわけですが、それは容器と曲がり管の外の水を、いったん忘れましょう。

　高さH－h_1＋h_2による圧力によって曲がり管から飛び出す水の速度と、求めたい速度Uが等しいことを使うとよいでしょう。これは作用・反作用の法則ですから、必ず成り立ちます。これが水の溢れない速度の上限となります。

　文章に明示されていないようですが、曲がり管の出口は水平のようですから、角度の考慮は必要ないでしょう。また、曲がり管の出口の面積も無関係です。

補足

回答ありがとうございます。

　cozycube1さんのお考えはel156さんと考え方が違うだけで同じ答えなのでしょうか？