高1数字の問題お願いします。

質問

高1数字の問題お願いします。

問.各面が正三角形である正多面体が存在 すれば、その面の数は4か8か20であ る。これを説明せよ。

お願いします(^o^;)

回答No.2

MagicianKuma

正多面体が存在するためには、　　　　　　
(1)１つの頂点に集まる面の個数は3以上
(2)頂点のまわりの頂角の合計は360度より小
の両方を満たす必要があります。各面が正三角形なら頂角は60度ですから、(1)(2)より　1つの頂点に集まる面の個数K=3,4,5の3通り
また、オイラーの多面体定理より、V-E+F=2　　Vは頂点の個数、Eは辺の数、Fは面の数
V=3F/K ・・・１つの頂点に面がK個集まっているので、F/Kを3倍（3角形なので）したものが頂点数
E=3F/2　　・・・辺の数は面2つで辺一つを共有するので
これをV-E+F=2に代入すると、3F/K-3F/2+F=2 → F=2/(3/K+1/2)　K=3,4,5を代入するとF=4,8,20

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
一度「局所的に」考えてみると、導き出すことができます。

正多面体の「一つの頂点」に注目します。
当然、正三角形の頂点がより合っています。
より合っている正三角形の個数を順に変えていくと、あるところで・・・