大学受験の数学(確率)の問題です。
大学受験の数学(確率)の問題です。
次にあげる問題についてです。(1)(2)は解けたのですが、(3)が解けませんでした。自分でいろいろ考えたり、参考書を調べたりしましたが、お手上げとなってしまいました。よろしければ、(3)の解答をしていただけたらと思います。よろしく願いいたします。
問題
正方形の頂点を順にA,B,C,Dとし、この順を正の向きとし、逆を負の向きとする。動点Pは常に頂点にあり、1秒ごとに次の頂点に移っていく。このとき、正の向きに次の頂点に移る確率は2/3で、逆の負の向きに次の頂点に移る確率は1/3とする。また、動点Pは最初頂点Aにあるものとする。
(1) 2秒後に動点が頂点A,Cにある確率をそれぞれ求めよ。
(2) 3秒後に動点Pが頂点B,Dにある確率をそれぞれ求めよ。
(3) 4以上の自然数nに対して、n秒後に動点Pが各頂点にある確率をそれぞれ求めよ。
正解:(1)順に4/9,5/9 (2)順に13/27,14/27
(3)nが奇数のとき、順に
0、1/6{3+(-1/9)の[(n-1)/2]乗}、0、1/6{3-(-1/9)の[(n-1)/2]乗}
nが偶数のとき、順に
1/2{1+(-1/9)の[n/2]乗}、0、1/2{1-(-1/9)の[n/2]乗}、0
確率が0になるのは分かります。また、それぞれにおいて、残りの2つを合計すると1になるので、一方が求まれば、もう一方も必然的に求まるのは分かります。しかし、その一つの求め方が分かりません。
よろしくお願いします。なお、指数の表し方が分かりにくくなってしまっていますが、ご容赦頂きたいと思います。
お礼
なるほど言われてみればその通りです ありがとうございます