数学記号について

質問

数学記号について

a⊂A
a⊆A
a∈A
の違いは何ですか？

回答No.5

Caper · ベストアンサー

● a ∈ A について

　 a ∈ A は、「 a は 集合 A の要素である 」という意味です。

　 例えば、集合 A が {1, 2, 3} であり、a が 2 であるとします。言い換えれば、A = {1, 2, 3} であり、a = 2 であるとします。このとき、a は 集合 A の要素になっているので、a ∈ A と書くことができます。
　 ただし、集合 A が {1, 2, 3} であり、a が {2} という集合であるとする場合、言い換えれば、A = {1, 2, 3} であり、a = {2} である場合は、a ∈ A と書くことはできません。その理由は、a は 集合 A の要素ではなく、集合 A に "含まれる集合" であるからです (*)。

　 a ∈ A の日本語におけるそのほかの表現のしかたとしては、「 a は 集合 A に属する 」「 a は 集合 A に含まれる 」「 集合 A は a を含む 」などが挙げられます。

● そのほかの 2 題 について

　「 集合 a は 集合 A の部分集合である 」とは、「 集合 a のすべての要素が、集合 A の要素でもある 」という意味です。

　 例えば、a = {1, 2}, A = {1, 2, 3} であるときには、集合 a は 集合 A の部分集合であると言うことができます。また、a = {1, 2, 3}, A = {1, 2, 3} であるときにも、すなわち a = A であるときにも、集合 a は 集合 A の部分集合であると言うことができます。

　「 集合 a は 集合 A の真部分集合である 」とは、「 集合 a が 集合 A の部分集合であって、a と A は等しくない 」という意味です。

　 例えば、a = {1, 2}, A = {1, 2, 3} であるときには、集合 a は 集合 A の真部分集合であると言うことができます。ところが、a = {1, 2, 3}, A = {1, 2, 3} であるときには、すなわち a = A であるときには、集合 a は 集合 A の真部分集合であると言うことはできません。

　 ⊂ ⊆ などの記号の流儀については、ANo.1 において chie65535 さん が提示なさいました 2つ目 のリンク先における「 記法に関する注意 」内の表をごらんください。
　 ⊆ に部分集合を割り当て、⊂ に真部分集合を割り当てるとい流儀は、古いものかもしれません。

　「 集合 a は 集合 A の部分集合である 」のそのほかの表現のしかたとしては、「 集合 a は 集合 A に含まれる 」「 集合 A は 集合 a を含む 」などが挙げられます。

● (*)

　 集合 A が「 集合の集合 」である場合は、集合 A の要素は集合です。ご注意ください。「 集合の集合 」には、「 集合系 」もしくは「 集合族 」という呼び名があります ( 厳密には、「 集合系 」と「 集合族 」とは意味が異なるようです )。

● 私はそこつ者です。以上の記述の中にあやまりが含まれている可能性は高いです。まちがっていましたら、ひらにごめんなさい。
　 また、理解しづらい個所がございましたら、[ 補足 ]欄 を利用するなどして、遠慮なくお知らせください。

お礼

回答有難うございました。
また、一番納得のいく回答でしたのでBAに選ばせていただきます。
数学の参考書を見た時に、∈を見て何だこれ？と思い意味が分からず参考書を閉じてしまいましたが、また再び参考書に目を通して見たいと思います。有難うございました。

回答No.6

boiseweb

この手の質問に答えようとするとき、「含む」「含まれる」は絶対に避けるべきNGワードです。
なぜなら、

数学教科書でさえ「含む」という語を ∈, ⊂ のどちらを言い表すために使うかは揺らぎ（流儀による違い）がある
数学専門家同士の対話でも、現実には、「含む」と口走ったときに ∈, ⊂ のどちらを意味しているかは揺らぎがあって、当事者が文脈から適切に判断することで補っている

という事情があって、まさにそれが初学者にとって ∈, ⊂ の混同を引き起こす原因になっている（と私は考える）からです。

#3さんは、「含む」「含まれる」という言葉を使っている時点で、質問者と同じ穴のムジナなのですよ。

それでは、 ∈, ⊂ を簡潔に言い表す言葉として何を選択すべきか？ 私としては、

x∈A: 「x は A に属する」「x は A の要素（元）である」「A は x を要素（元）として持つ」
B⊂A: 「B は A の部分集合である」「B は A に包含される」「A は B を包含する」

を提案しておきます。
もちろん「部分集合である」「包含される」は定義が必要な用語で、その定義は#2さんの回答のとおりです。
（ここでは「含まれる」というNGワードを回避するための単語の選択肢を提案したまでで、これをもって B⊂A とは何を意味するかを説明しようとする意図はありません）。

それから、

> a∈A：aはAの要素（元，げん）に含まれる

これは私が採点者の立場なら完全にバツです。
なぜなら、「aはAの要素（元，げん）に含まれる」を文字通り解釈すると、

「含まれる」を「属する」と解釈するなら、たとえば A={{a},{b}}
「含まれる」を「部分集合である」と解釈するなら、たとえば a={1,2}, A={ {1,2,3}, {4,5} }

という状況を表していることになり、どちらにしても a∈A ではないからです。

お礼

回答有難うございました。
なるほど。大変勉強になります。
有難うございました。

回答No.4

kabaokaba

>a⊂A：aはAに含まれる，ただしaとAが一致する場合は除く
>a⊆A：aはAに含まれるか一致する
>a∈A：aはAの要素（元，げん）に含まれる

・・・・ぜんぜん違うっていうか・・alice_44さん，こんなこと
どっこにも書いてないよ．
それにこんな風に書いたら間違いだし．

素朴集合論的（まあ，高校と大学の初年度くらいの段階）だと

aとAが集合であるとき
a⊂Aは
aの任意の要素がAの任意の要素であることを示す．
このとき「aとAは一致しててもよい」

aとAが集合であるときa⊆Aはa⊂Aと同じ．
ただし，日本のごく一部において
a⊆Aの場合のみaとAが一致するのを許容し，
a⊂AはaとAが一致しないことを含むという流儀がある．

a∈AはaがAの要素であることを示す．

お礼

回答有難うございます。
また、お礼が遅れて申し訳ありませんでした。
a⊂Aの任意って所に意味がありそうですね。
勉強になります。

回答No.3

noname#157574

alice_44先生のご回答を分かりやすくいえば，
a⊂A：aはAに含まれる，ただしaとAが一致する場合は除く
a⊆A：aはAに含まれるか一致する
a∈A：aはAの要素（元，げん）に含まれる
となります。

お礼

回答有難うございます。
また、お礼が遅れて申し訳ありませんでした。
a⊂Aとa⊆Aは、aを含むか含まないかというような関係ということでしょうか。
大変勉強になります。有難うございました。

回答No.2

alice_44

a∈A は、基本的な述語で、
集合論の公理系で定義される。
a⊂A は、∈ を用いて定義され、
∀x,x∈a⇒x∈A ということ。

a⊆A は、たぶん日本独特の記号で、
通常の記法での a⊂A と同じ意味。
同じ記号を別の意味で使うので
ややこしいが、a⊆A を使う文脈では、
a⊂A を a⊆A ∧ a≠A の意味で使う。

お礼

回答有難うございました。
また、お礼が遅れて申し訳ありませんでした。
数学の参考書でa⊆Aを見たのですが、これが日本独自の記号とは知りませんでした。
勉強になります。

回答No.1

chie65536（@chie65535）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%85%E5%90%AB%E9%96%A2%E4%BF%82

お礼

お礼が遅れて申し訳ありませんでした。
参考にさせれいただきます。