郡 Gを郡とし、a∈Gとし次の数列を考える 1,a

質問

郡に関する質問です　ちょっとしたヒントでもいいのでお願いします。
Gを郡とし、a∈Gとし次の数列を考える
1,a,a^2,a^3,a^4,...
この数列は同じ項を含まない。もしくは、a^n=1かつ、1,a^2,a^3,a^4,...a^(n-1)がすべて異なるという条件をみたす最小のnがあることを示せ。

という問題なのですが、いくつかわからないのことがあって、

もしaが単位元であった場合すべての項が等しくなるのではとおもったのですが、それは最小のnを１
とすればいいのでしょうか？　

また解説に
nをa^nがそれよりも前に出てくる項、a^k (k<n)と等しくなる最小の項として、a^n=a^k=1だが、a^(n-1)=a^(k-1)となりnの定義に矛盾する
というのがあるんですがなぜa^n=a^kが1になるのでしょうか？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

背理法を使うときは、何を仮定したら
矛盾が生じたのかを、意識して行わないとね。

質問文には書かれてないけれど、おそらく
その解法では、aのk乗=aのn乗 かつ k＜n となる
n,k の対のうち n が最小のものをとると、
k≧1 であると仮定したのでしょう。

aのk-1乗=aのn-1乗 であることから
最小の n をとったことに矛盾しますから、
背理法により、k≧1 という仮定が否定され、
k=0 すなわち aのn乗=aの0乗=1 が判ります。

回答No.1

hrsmmhr

もしaが単位元なら仰るとおりn=1ということです

後のご質問は、説明されている文言を取り違えていませんでしょうか？
もしa^k(n>k)がa^nと等しくなるなら、
全て相違であるという前提に反しているため
その否定を仮定するなら矛盾が生じるという背理法を、証明に使うのだと思います
a^n=a^kならa^(n-k)=1でn-k(<n)なるnより小さな、単位元に戻る元が存在して
nの最小性に矛盾を生じるということではないでしょうか？