補数について質問

質問

例えば2進数であれば、ある数aの補数はその数aの負の値ですが、
その理由は、最上位の桁を無視するからですか？
例えば10進数の10の補数では、39の補数は61ですが、最上位の桁を無視するので、-39が補数とも言えますよね？
yesかNoかでお答え頂けましたら幸いです。

具体的な式で説明します、この考え方も正しいか判定してくだされば幸いです。

(ex：51－39

補数の概念で計算：51+(61－100)=12

(61－100)は最上位の桁を無視する式に対応していて、その答えは-39。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

ただ「39の補数」と言っても、
39+61=100 の 100 を無視すればよいのか、
39+961=1000 の 1000 を無視すればよいのか
判らないから、答えが決まりませんね？
本来は「10の補数表示」ではなく、
「100の補数表示」とか「1000の補数表示」とか
言わなければ、意味が伝わらないはずです。
実際には「100の補数表示」「1000の補数表示」でなくて、
「100を法とする剰余」「1000を法とする剰余」と呼ぶ
習慣になっています。

100を法とする剰余においては、61≡-39 (mod 100) ですから、
61 と -39 は同じ数と考え、特に区別しません。
39 の補数は、どっちだと言っても同じことなのです。
その意味で、質問への答えは yes です。

コンピュータ用語の「2の補数表示」も、
桁数 n を明示して「2^n の補数表示」と
言わなければいけないはずですが…
歴史的に、そうなってはいません。
コンピュータの世界と数学の世界では、
用語の厳密さへの意識が異なる
ということでしょう。

お礼

丁寧なご回答まことにありがとうございます！
再度質問します！

回答No.3

FT56F001

コンピュータでは「1の補数」と「2の補数」があります。

#1さんが示したのは「1の補数」です。マイナスの数をbit列の0と1を反転して表す，やり方です。
「2の補数」は「1の補数」を1つずらせて，1000は-8を表す約束です。
加減算に便利なので，「2の補数」を使うことが多いように思います。

Alice先生おっしゃるように，本来はbit長を決めないと，2の補数は決まりません。
ハードウェアから，レジスタのbit長は4，8，16，32bitなどに決まります。

たとえば，8bitのとき，MSB(左端)から，-128,64,32,16,8,4,2,1(LSB:右端)の重みを持つと考えます。
最上位の桁MSB(左端)は，+128ではなくて，-128の重みを持つという約束だと思えばよいのです。
最上位の桁を無視するというより，マイナス(2^(bit長-1))の重みを当てると考えるのではないかと思います。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます！
再度質問します。。

回答No.1

DJ-Potato

引き算では、引く数の補数を足して最上位の桁を無視すると、結果が同じになる、という理屈から、引き算を足し算で表現することができるようになります。
特にコンピュータの世界では、足し算の繰り上がりよりも引き算の繰り下がりの方が厄介なので、足し算に変換して計算したほうがスマートになる、ということだと思います。

ついでに言えば、コンピュータの２進数では最上位の桁が正負の記号を表現しているので、余計わかりにくくなりますね。

最上位にだけ２進数の表現を持ちこむので、説明として理解に苦しむと思いますが、

039の補数は(9-0)(9-3)(9-9)+1=961
039+961=000　最上位の桁は無視

ちなみに、961は-39を表す。

といった感じです。

0000(2) = 0(10)
0001(2) = 1(10)
0010(2) = 2(10)
0011(2) = 3(10)
0100(2) = 4(10)
0101(2) = 5(10)
0110(2) = 6(10)
0111(2) = 7(10)

1000(2) = -7(10)
1001(2) = -6(10)
1010(2) = -5(10)
1011(2) = -4(10)
1100(2) = -3(10)
1101(2) = -2(10)
1110(2) = -1(10)
1111(2) = -0(10)

のような感じで。
実用上は負数は１つずらしてますかね。

お礼

丁寧なご回答まことにありがとうございます！