次の数学の解法と回答を教えて下さい。(５)

質問

添付図のような、１辺が１０ｃｍの正三角形ＡＢＣにおいて、辺ＡＢ上を動くＰと辺ＢＣ上を動くＱがあります。Ｐは、点Ａから点Ｂに向かって毎分１ｃｍの速さで動き、Ｑは、点Ｂから点Ｃに向かってＰの２倍の速さで動きます。ＰＱ間の距離が最小になるのは、スタートしてから何分後ですか。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

添付図のような、１辺が１０ｃｍの正三角形ＡＢＣにおいて、辺ＡＢ上を動くＰと辺ＢＣ上を動くＱがあります。Ｐは、点Ａから点Ｂに向かって毎分１ｃｍの速さで動き、Ｑは、点Ｂから点Ｃに向かってＰの２倍の速さで動きます。
＞ＰＱ間の距離が最小になるのは、スタートしてから何分後ですか。

ｘ分後に最小になったとすると、そのときの長さは
Ｐは、点Ａから点Ｂに向かって毎分１ｃｍの速さだから、
ＡＰ＝ｘｃｍ，ＰＢ＝（１０－ｘ）ｃｍ，
Ｑは、点Ｂから点Ｃに向かってＰの２倍の速さ（毎分２ｃｍ）だから
ＢＱ＝２ｘｃｍ
△ＰＢＱで、余弦定理より、
ＰＱ^2＝（１０－ｘ）^2＋（２ｘ）^2－２（１０－ｘ）×２ｘ×ｃｏｓ６０度
　　　＝１００－２０ｘ＋ｘ^2＋４ｘ^2－２（１０－ｘ）×２ｘ×(1/2)
　　　＝７ｘ^2－４０ｘ＋１００
＝７（ｘ^2－(40/7)ｘ＋(20/7)^2）－20^2/7＋１００
　　　＝７（x-20/7）^2＋300/7
ＰＱ^2の最小値が300/7ｃｍだから、ＰＱも最小値をとる（ルート300/7）
ｘ＝20/7のときが最小値だから、
よって、20/7分後

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

info22_

t分後(0<=t<=10)
　AP=t, BQ=2t
余弦定理より
　PQ^2=PB^2+BQ^2-2PB*BQcos60°
　=(10-t)^2+4t^2-2(10-t)*2t/2
　=7t^2-40t+100
　=7(t-20/7)^2+300/7≧300/7
従って
　t=20/7 分後　PQの最小値10(√21)/7 (cm)

お礼

ありがとうございます。