ゼロより大きい最小の数

質問

ここでも出ていた「１＝０．９９９・・・か？」と言う問題で数学の好きな人（数学の知識のある人かどうかは不明。ただし物理には詳しい。）と話をしていた時に出てきた話題なのですが・・・。

その人の言うには、
「ゼロより大きい最小の数は存在する。それは　０．００・・（０が無限個続く）・・０１　である。」
とのことでした。

以下、禅問答のような質疑。
「無限個のゼロの列で、最後のゼロが存在することができますか？」
「最初のゼロが存在しているのだから『最後のゼロは存在しない』と決めつけることはできない。」

「それならゼロの数は数えられるのではないのですか？」
「両端が存在することと、数えられるかどうかは別問題。」

「最後の１は桁数の概念がわからないのですが・・。」
「最後の１を『何桁め』と定義することはもちろんできない。言えるのは無限個のゼロとの順序関係だけ。しかしそれがわかれば数としては機能する。」

「そもそも『数』として認められるのですか？」
「この数自身は実数の定義から外れると思うが、あらゆる実数と大小関係を比較することはできる。言いかえると数直線上で自らの存在場所を主張することができる。」

「それって、実数が連続であることと矛盾するのではないですか？」
「実数の連続性は単なる公理であって証明されたものではない。」

そう言われて眺めていると、確かに、ゼロより大きい最小の数のように思えてきました。
このような数は本当に存在を認められるのでしょうか？
また、知人の主張に数学的な誤りがあるのでしょうか？
ぜひ数学に詳しい方々からの御意見をよろしくお願いいたします・

回答No.13

sub_6 · ベストアンサー

あなたの言うとおり、
実数の連続性に矛盾するので、ゼロより大きい最小の数は実数ではありません。

実数の数学的な構成は、有理数のコーシー列に等しさを導入するという形で定義されます。その定義より、0.9999999............... = １です。

したがって、0.000............(無限個)...........01 という数は実数では定義されません。
(有理数のコーシー列でかけないから)

しかし、実数より大きいクラスの定義があって(超準解析 で調べてください)
「ゼロより大きいが、任意のゼロより大きい実数よりは小さい」数が出てくることがあります。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0

お礼

ありがとうございました。
「超準解析」の話はしてみましたら、反応がありました。興味を持ったようです。

もう少しこの質問箱でお知恵を拝借して友人を悩ませてみようかと思ってましたが、もう友人の方が興味を別の事に移し始めているようなので、この辺で一旦締めたいと思います。
この場を借りて、回答いただいた皆さまに改めてお礼申し上げます。

回答No.2

tmpname

その「ゼロより大きい最小の数」とやらを2で割った数は、
「ゼロより大きい最小の数」より大きい、と等しい、より
小さいのどれですか？

お礼

ありがとうございました。
２で割るとどうなるのか聞いてみましたが、「割り算は定義できない」そうです。

回答No.1

alice_44

最後の「 」の内容から、
その友人が実数と呼んでいるものは、
普通、皆が実数と呼んでいるものとは
別の何かだということがわかる。
よって、話が噛み合う可能性はないから、
好きに一人で言わせておくといい。

類題:
象は、空を飛べる。
だって、今まで鳩と呼んでいた生きものを
こんど「象」と呼ぶことにしたから。

お礼

ありがとうございました。
なお、友人も実数だとは言ってませんでした。