まず質問の回答から。
重力は万有引力というごとく、物が存在すれば引力が働きますから、地球が自転しようがしまいが同様の重力を発生させます。
他の方が書かれていますが、自転は遠心力を生みますので、緯度によって感じる重力が変わります。これは結構大きく違うので、ばねばかりなどは日本でも５つくらいのエリアに分けて、それぞれの地域にあったものが販売されているはずです（が検索してもそれらしいエリア表などがみつかりませんでした）。ただ、金などの貴金属では数ミリグラムで価格が違ってきますので、そのようなものを計るときなどは間違えないよに非常に注意されています。この力が非常に小さいという回答がありましたが、おそらくコリオリの力と間違えてのことと思われます。
自転がいきなりピタっと止まったら吹っ飛ぶなどの話は確かにそうで、赤道40,000kmが24時間で一回転ですから時速1,500km以上ですから、いきなり止まるとそうなりますが、ではどの様な力が働けばピタっと止まるのか、というのを考えると、他の惑星がぶつかるなど、現実的に考えるとそちらのほうが大災害になってしまうので、ここは理想的にそのままの状態で自転だけ止まると考えてよいと思います。
自転が止まった場合、月の例がありますが、地球のやや重い向きが太陽方向にずっと向くような形に収束することが考えられます。（地球の月だけでなく、衛星ではこのような状態はよく見られます。）そうなると、同じ面がいつも昼で熱帯地獄、反対側がいつも夜で寒冷地獄、境目のわずかなエリアだけが人間でも快適に暮らせる（？）所となるでしょう。火星などはそのような感じだったと思います。火星はまだ自転していますが。
お礼
どうもありがとうございます。万有引力という言葉をすっかり忘れていました。地球は物体ですし、自転の有無に関わらず、全く同様の重力を発生させるわけですね。 貴金属の価格がそのように敏感に重力の影響を受けているというのは初めて知りました。 自分でも調べてみましたが、自転の遠心力が最も大きい赤道で体重が100キロの人は、自転の遠心力の最も小さい極地では100.5キロになる(0.5パーセントくらいの違い)という記事を見ましたが、これはどのような分野で扱うかにもよるでしょうが、非常に小さいとも、大変大きいともどちらともとれますね(笑) ところで、ちょっと話がそれてしまいますが、コリオリの力がどうして発生するのかなかなかわからないのですが、ご存じですか？ 地球の自転により発生するいわゆる見かけの力(無知ですので違っているかも・・・)だというのは以前にも聞いたことがあり何となく分かるのですが、慣性の法則(？)で地球は一定の速さで絶えず自転していて、その慣性は地球上の物体や地球から飛び上がった物体などにもずっと作用していて変わらないはずなのに、そういった力が別にはたらく原理が理解できません。