アナタにとってはどうでもいいことをまず指摘
社会保険とは、狭義において「健康保険」と「厚生年金」を指します。
ですので、個人住民税が解決しているのであれば、考慮すべきは次の4つです。
・健康保険［公的医療保険］
・厚生年金［公的年金］
・雇用保険
・所得税
先ず簡単に答えられるのは所得税
これは、主たる勤務先では年末調整を行ってもらいながら、従たる勤務先では年末調整を行わず、両方の収入を確定申告をすればよいだけであり、主たる勤務先には確定申告が行われた事は通知されません。多分、個人住民税をご質問為された際にこの点は説明があったと思います。
次に雇用保険
これは、週20時間以上の労働契約になっているのか否かで話しは変わります。
・20時間未満
入りたくても雇用保険への加入は出来ない。
・20時間以上
法律上は同時に2つの勤務先での加入は出来ないので、違法を当たり前としているバイト先に勤める。
但し、従たる勤務先では加入できないので、バイト先には副業である旨がバレテも良いのであれば、その旨を延べれば雇用保険に加入いる必要はなくなる。
もしも、バイト先で加入したいのであれば、加入はやめた方がよいです。
雇用保険番号不明⇒ハローワークで調査⇒加入中がバレル⇒二重加入はできない
最後に社会保険（健康保険と厚生年金）
これは、法律上は労働時間・日数及び収入に関係なく、法に定めた適用除外［例えば2箇月以内の期間を定めたアルバイトで契約延長又は再雇用なし！］に該当しない限り、適用事業所に勤める労働者は強制加入。
但し、『常用性』と言う概念があり、その常用性の有無を判断する為に出された通達が、所謂「4分の3基準」と呼ばれるものです。この基準は実務では間違った解釈で流布しているために「週30時間（あるいは4週又は月で120時間）未満の労働であれば加入できない」としている企業が見受けられますので、その様ないい加減（大手スーパーでもそう見たいですよ）ところでバイトすれば問題なし。
逆にバイト先で加入手続きをするのであれば、厚生年金は「基礎年金番号」で管理しているためにバレてしまいます。
お礼
大変詳しく教えて頂き、有難うございます。 安心出来ました。家族のため頑張れます。