数(黄)チャートI＋A

質問

何度も質問申し訳ないのですが独学で聞ける人がいないのでよろしくお願いします。

数A　重要例題30(3)

ガラスでできた玉で赤色のものが6個2青色のものが透明のものが1個ある。玉には中心を通って穴が開いているとする。
これらの玉に糸を通して首輪を作る方法は何通りあるか

答えは16通り

解説を読んでもわからないのでよろしくお願いします

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

同じ色がある数珠順列（回転させたり、裏返して一致するものも同じとみなす）の場合、
計算というよりもほとんど場合分けによる書き出しになってきます。

たとえば、数の少ない青色、透明の玉に注目して、
その間に割り込んでくる赤色の数で場合分けをしてみます。
このとき、2か所ある「青色と透明の間」は裏返しても一致する組になってしまいます。
（添付の図を参照してください）

このようにして重複する組を排除していくと、「青色と青色の間」を基準にして場合分けをして
(1) 青色と青色の間に 0個は、4とおり
(2) 青色と青色の間に 1個は、3とおり
(3) 青色と青色の間に 2個は、3とおり
(4) 青色と青色の間に 3個は、2とおり
(5) 青色と青色の間に 4個は、2とおり
(6) 青色と青色の間に 5個は、1とおり
(7) 青色と青色の間に 6個は、1とおり

数え上げることができます。

重複なく、漏れなく数え上げるという観察力が要求される問題ですね。＾＾

回答No.1

noname#175206

円順列で考えて、8C2＝8×7/(2×1)＝28通り。

　これを裏返して重複するパターンを除かねばまりません。

　全ての色が違うなら、単純に表裏の2通りが同じとして半分、1/2倍でいいです。それなら8C2/2＝28/2＝14通りが答です。

　しかし、同じ色が含まれています。この問題では、うまい具合に、一つだけある透明を固定して考えると楽です。

　これを固定して、左右非対称であれば、裏返して重複するパターンがあります。これは、裏返さない場合のパターン数を1/2倍すればいいです。

　しかし、左右対称であれば、裏返しても同じですから重複がありません。これは1/2倍してはいけなくて、そのままがパターン数です。

　つまり円順列を場合分けして、「左右非対称のパターン数」/2＋「対称のパターン数」という計算になります。

　数を減らして、実際に並べてみて、試行しながら計算を確かめて行くといいでしょう。

　結論だけ申し上げておくと、まず円順列では、8C2＝8×7/(2×1)＝28通り。
　左右対称は4パターンあります。ですから非対称のパターン数は、28－4＝24通りです。

　「左右非対称の個数」/2＋「対称の個数」＝24/2＋4＝16通り。

お礼

丁寧にありがとうございました