包含と排除の理を使ってこの問題の解いてください。

質問

包含と排除の理を使ってこの問題の解いてください。理由も一緒でお願いします。
学生２０人に対して４つの外国語の履修調査を行った。全員が少なくとも１つの外国語を履修しているとする。

(a)英語は７人、フランス語は９人、ドイツ語は１０人、ロシア語は１１人とっている。
(b)英語・フランス語は４人、英語・ドイツ語は３人、英語・ロシア語は５人、フランス語・ドイツ語は５人、フランス語・ロシア語は５人、ドイツ語・ロシア語は４人とっている。
(c)英語・フランス語・ロシア語は３人、英語・ドイツ語・ロシア語は２人、フランス語・ドイツ語・ロシア語は３人とっている。
(d)英語・フランス語・ドイツ語・ロシア語は２人とっている。
この時、英語・フランス語・ドイツ語をとっているのは何人か??

回答No.1

151A48

英語履修者の集合をＥ，以下，フランス語，ドイツ語，ロシア語をＦ，Ｄ，Ｒとします。
集合Ｅの要素の個数をn(E)のように表すと，
n(Ｅ∪Ｆ∪Ｄ∪Ｒ）＝ｎ（Ｅ）＋ｎ（Ｆ）＋ｎ（Ｄ）＋ｎ（Ｒ）
　　　　　　　　　　　　－ｎ（Ｅ∩Ｆ）－ｎ（Ｅ∩Ｄ）－ｎ（Ｅ∩Ｒ）－ｎ（Ｆ∩Ｄ）－ｎ（Ｆ∩Ｒ）－ｎ（Ｄ∩Ｒ）
　　　　　　　　　　　　＋ｎ（Ｅ∩Ｆ∩Ｒ）＋ｎ（Ｅ∩Ｄ∩Ｒ）＋ｎ（Ｅ∩Ｆ∩Ｄ）＋ｎ（Ｆ∩Ｄ∩Ｒ）
　　　　　　　　　　　　-ｎ（Ｅ∩Ｆ∩Ｄ∩Ｒ）
が公式。全員すくなくともい一カ国語は履修しているのでn(Ｅ∪Ｆ∪Ｄ∪Ｒ）＝２０　
ｎ（Ｅ∩Ｆ∩Ｄ）だけわからないので，これをｘとおき，他は問題の条件の数値を代入すればよいでしょう。自信ないけど，私の計算では３になりました。