Σ_{l}exp(ikr_{l})について

質問

教科書にΣ_{l}exp(ikr_{l})はkr_{l}が２πの整数倍でない場合はゼロになると書いてあったのですが証明できません。証明をお願いします。

ちなみに散乱問題に出てきたしきでしてｋは散乱波数、r_{l｝はｌ番目のターゲット粒子の位置になっています。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

数学的には 総和Σ_{l}が有限個の項の総和であるなら「0になるとは限らない」というのが正しく、従って、「ゼロになる」を証明することは絶望的でしょう。一方、無限個の項の総和であるならば、「無限個の項の総和」の定義によって話が違ってきます。（そこんとこを扱う数学は発散級数論です。）

　もし、物理の理論でありながら総和Σ_{l}が無限個の項の総和を意味している、というのなら、お使いの教科書の場合、多分、ごく多数個の「ターゲット粒子」があるという状態を、無限個の「ターゲット粒子」があるという状態で近似する、という方法で扱うために「周期超関数に関するフーリエ変換」というものを利用しようとしていて、その文脈において

> kr_{l}が２πの整数倍でない場合はゼロになる

と記述しているのだと思われます。これを数学の観点から見れば、この場合の総和の取り方は、有限個の項の場合を考えておいて「粒子の個数→∞」という極限を取る、という形で定義されるでしょう。なお、証明については、数学スレで扱う話だろうと思います。

回答No.1

eatern27

ターゲット粒子の位置とだけ言われても、r_lたちがどういう値なのか分からないのですが、
2πの整数倍とかいう話になるのなら、「ターゲット粒子」が等間隔に並んでいるような場合を考えているのでしょうから、
r_l = al のようにすれば、単に等比級数の計算をするだけですよ。(簡単のため１次元で説明しましたが、多次元を考えているのだとしても話は一緒です)