過程を教えていただきたいです

質問

以下の問題の過程がわかりません。
どのような過程でとけばいいのか教えていただきたいです。

問題
6で割ると3余り、7で割ると4余り、9で割ると6余る正の整数のうちで、3桁の整数
はいくつあるか。
　1　6個
　2　7個
　3　8個
　4　9個
　5　10個

回答No.5

noname#157574 · ベストアンサー

もっと簡単な解法を。
6で割ると3余る⇔6の倍数より3だけ小さい
7で割ると4余る⇔7の倍数より3だけ小さい
9で割ると6余る⇔9の倍数より3だけ小さい
ここで6，7，9の最小公倍数は126。それより3だけ小さい数は123であるから，
3桁の整数は小さい方から123，249，375，501，627，753，879の7個。（答）2

回答No.4

ferien

問題
6で割ると3余り、7で割ると4余り、9で割ると6余る正の整数のうちで、3桁の整数
はいくつあるか。
　1　6個
　2　7個
　3　8個
　4　9個
　5　10個

6で割ると3余り、9で割ると6余る正の整数は、どちらも３の倍数ですが、
どういう特徴があるか調べるために実際書き並べてみました。

6で割ると3余る数　３，９，１５，２１，２７、……のように　３×奇数　の形になっています。
第ｎ項は、３（２ｎ－１）＝６ｎ－３……（１）

そこで、9で割ると6余る数のなかから、３×奇数になっているものを探しました。
１５，３３，５１，６９、８７、……　これは、初項が１５，公差が１８の等差数列になっています。
第ｎ項は、１５＋（ｎ－１）×１８＝１８ｎ－３……（２）

今度は、7で割ると4余る数から、３の倍数を探しました。
１８，３９，６０，８１，１０２，……　これは、初項が１８，公差が２１の等差数列になっています。
第ｎ項は、１８＋（ｎ－１）×２１＝２１ｎ－３……（３）

（１）～（３）より、６，１８，２１の最小公倍数を求めると　２×３^2×７＝１２６

これから、１２６ｎ－３（ｎ＝１，２，……）が求める数、
　　　　　個数は９９９÷１２６より、７個

お薦めできる解法ではないですが、このように考えましたということでお願いします。。

回答No.3

mister_moonlight

a、b、cを整数とすると、Ｎ＝6a＋3＝7b＋4＝9c＋6　となる。ここから、不定方程式を解く。
6a＋3＝7b＋4より　6(a+1)＝7(b+1)で、6と7は互いに素から　mを整数として　a+1＝7m、b+1＝6m　‥‥(1)
7b＋4＝9c＋6　より　7(b+1)＝9(c+1)で　7と9は互いに素から　nを整数として　b+1＝9n、c+1＝7n　‥‥(2)　(1)と(2)から、6m＝9n　つまり　2m＝3n。2と3は互いに素から　kを整数として　m＝3k、n＝2k。
よって、(1)と(2)と(3)　から　a＝21k-1、b＝6k-1、c＝18k-3.
Ｎ＝6a＋3＝7b＋4＝9c＋6＝126k-3　だから　100≦126k-3≦999。従って　1≦k≦7だから、求める個数は　7個。

回答No.2

tsuyoshi2004

まずは、
「6で割ると3余り」「7で割ると4余り」「9で割ると6余る」をそれぞれ考えます。
a,b,cをそれぞれ任意の０以上の整数とすると、
ある整数ｎが、
n=6a+3=7b+4=9c+6
で表せるｎが条件に当てはまります。
6a+3=7b+4
より、
6a=7b+1
a=(7b+1)/6
です。
ここで、a,bも整数なので、7b+1が６の倍数であることがわかります。
すると、b=6d+5のときに成立します。（dは0以上の整数）
まず、「6で割ると3余り、7で割ると4余る」数は
7(6d+5)+4=42d+39なので、
「４２で割ると３９余る」数と同じになります。
同様に、さらに「「9で割ると6余る」を考えると、

42d+39=9c+6
9c=42d+33
c=(42d+33)/9=(14d+11)/3
から、
d=3e+2のときに成立（eは０以上の整数）します。
よって、求める数ha
42(3e+2)+39=126e+123
で表されて、「１２６で割ると１２３余る」数となります。
あとはこれに該当する100以上1000未満の数字の個数を求めれば終了です。
(100-123)/126<0,(1000-123)/126<7ので、
７個です。
ちなみにその７個は（123,249,375,501,627,753,879)です。

と、解いたのですが、計算の簡便さを考えると、
先に「6で割ると3余り」と「9で割ると6余る」正の整数の条件を考えるほうが簡単のはずです。

補足

ありがとうございます
不等号を使って解く方法もあると聞いたのですがそちらの解きかたはご存知でしょうか？
自分にあった解答の仕方をみつけたいと思っていましたのでいろいろな解き方をしりたいです

回答No.1

Tacosan

気づく人は一瞬で気づくだろうけど, 気づかなかったらそのような整数を探すことになろうかと.