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確率の問題
赤のカードが６枚、白のカードが４枚あり、これらの１０枚を任意に一列に並べる。このとき同色のカードの一続き（一枚のこともある）を「かたまり」とよぶことにする。（例えば、赤 赤 赤 白 白 赤 白 白 赤 赤 →赤赤赤、白白、赤、白白、赤赤、がかたまり） 「かたまり」が４個である確率を求めなさい。 この問題を私は赤のカード白のカードをそれぞれ区別していました。つまり、赤のカードは赤１、赤２、・・・、赤６があると考えていました。 しかし、解答は区別しない（たぶん）考えでした。なぜ区別しないのか、わかりません。 ちなみに解答は、 赤６枚白４枚の並べ方が、１０Ｃ６＝２１０（通り） かたまりは、（１）赤白赤白または（２）白赤白赤の二通りで、それぞれ５×３（通り） よって、（２・５・３）/２１０＝１/７ です。確かに、それぞれを区別しなければ、この解答になるのはわかります。区別しない、という発想がわかりませんでした。 教えてください。よろしくお願いいたします。
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質問の答えですが『組み合わせを用いて区別しないほうが、計算が単純だから』こうとしか言い様がないです。 正直言って、区別してもしなくても答えは同じです。もし区別しないで考える方法が納得いかないならば、区別して考えていいと思います。テストで答えと考え方が間違ってないなら“○”ですから。 しかし、「そうなる場合の数」と「全体の数」（つまり確率の分子と分母）がお互い区別する、もしくは区別しないようにする必要があります。 「区別しない」という発想ですが、例えば「１」のカードが３枚あって、これを並べて出来る３桁の数はというと「１１１」しかないですよね？３枚のカードをどの順番で並べようが、結局「１１１」にしかなりません。 問題の赤・白のカードにしても同様で、例えば赤のカードのみに着目するとどう並べても 左から「赤赤赤赤赤赤」としかなりません。仮に１番目の赤と３番目の赤を変えたところでも結局「赤赤赤赤赤赤」です。これらを１つとして考えるわけです。 区別する場合の考え方ですが、結局は区別しない場合の考え方にプラスして、カードの順番も考慮したという形になります。 例えば#6さんの例でいくと、 (1)区別しない場合 a:赤赤白 b:赤白赤 c:白赤赤の３通り。 (2)区別する場合、２つの赤は別物なのでこれらを１，２とすると「１，２」「２，１」と２通り出来るので、 (1)のａ，ｂ，ｃについてそれぞれ２通り存在することになり、３×２＝６通りとなります。 この例で言えば、「×２」が区別する場合としない場合の差となります。 でもこの「×２」は「起こる場合の数」にも「全体の数」にもかかるので、結局答えは同じになるわけですね。 すごく長くなったけど、こんな感じでいいかな？
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面白そうな問いなので、私も考えてみました。 「区別しない、という発想」 －－＞私の「感」では、もしかしたら下記の理由ではないかと思います。 「区別してもしなくても、出る結果（確率）が同じだから。」 「そして、問題の回答はその片方を採用して計算した。」 上記は全くの「感」なので、ご自身で検討してみてください。 私が上記のように「感」じた理由 ： 白１個、赤二個の場合で２塊になる確率を計算する。 １．区別する組み合わせでは６通りの並べ方がある。 ＷＲ１Ｒ２ ２塊 ＷＲ２Ｒ１ ２塊 Ｒ１ＷＲ２ ３塊 Ｒ１Ｒ２Ｗ ２塊 Ｒ２ＷＲ１ ３塊 Ｒ２Ｒ１Ｗ ２塊 －－－－－－－－ 確率 ４／６＝２／３ ２．区別しないとしたら、 ＷＲＲ ２塊 ＲＷＲ ３塊 ＲＲＷ ２塊 －－－－－－－－ 確率 ２／３ （でも、間違いでしょう、多分、、、）
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- kony0
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#4さんが最後に言われている「さいころ」については、「１，１」が出る割合と「１，２」が出る割合は明らかに異なる（後者が２倍）・・・ということで、「区別しない＝組み合わせ的考え方」は使えないわけです。 教科書にはちゃんと出てくるものの、問題を解くときの解答にはほとんど出てこない言葉「同様に確からしい」という概念が考え方の決め手になるのです。
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#3の方が言っているようにどちらでもいいと思います。 今、区別しないときと区別するときをくらべてみると 区別するときのほうが 6!*4!倍になります。これは「分母も分子も両方共なる」 ということに気を付けてください。 だからこの確率を計算するときは、 分母分子を同じ考え方で求めれば 区別してもしなくてもどちらでもよい、ということになります。 ただ「さいころの目の和の合計」などというときは さいころを区別しないと正しい確率は求まりません。 ややこしいですね。
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- kony0
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理論的には「区別しても区別しなくてもよい」が正解でしょう。 区別しないとき方に挑戦してみると・・・ 1.すべての場合の数は10! 2.6つある赤を、２つの「赤」のカタマリに分けて１列に並べる方法は、6!×5 （まず、６つある赤１～赤６を１列に並べる順列を考えて、そのあいだに仕切りを入れて、左の「赤のカタマリ」と右の「赤のカタマリ」に入れるものにわけた。この場合、1|23456と、23456|1は異なるものと認識します。） 同様に、白を２つのカタマリに分けて１列に並べる方法は、4!×3 これらは「赤白赤白」と「白赤白赤」の場合それぞれに対して考えられる。 ということで、求める確率は、 {(6!×5)×(4!×3)×2}/10! で、同じ答えが出てきます。 区別しない「組み合わせ的考え方」でも、全210通りの事象の発生は「同様に確からしい」ため、組み合わせ的考え方でも一向に構わないわけですが、決して「組み合わせ的考え方でないと解けない」わけではありません・・・ なんていうと、かえって混乱させてしまうのかしら？（汗）
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- cubics
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区別しなくていいんです。 きっと論理的には解答で理解しても、感情的に納得できないのだと思います。 全部で１０個（色ごちゃまぜ）の組み合わせと、 赤６個の組み合わせと、白４個の組み合わせ、 そして、それらが、交互に並んだ場合の組み合わせで 何となく、それぞれで「組み合わせの場合」が違うの ではないかと思ったのでしょう。 でも、どんなに小さい数でも大きい数でも、 組み合わせの問題に単純化したときは、区別しなくていいんです。そういう法則になっているからです。 だから、組み合わせが計算できるわけです。 確かに赤６個白４個の場合と、赤６個白４個に 黒５個が増えたりした日には、赤の組み合わせも 違ってくるんじゃないかという「気には」 なりますよね。でも赤６個は、いつも赤６個として、 区別しないのでいいのです。
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- fushigichan
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ayakakayaさん、こんにちは。 ＞私は赤のカード白のカードをそれぞれ区別していました。つまり、赤のカードは赤１、赤２、・・・、赤６があると考えていました。 しかし、解答は区別しない（たぶん）考えでした。なぜ区別しないのか、わかりません。 なるほど。カードを色別に番号つけて、赤１赤２・・と区別して考えたんですね。 その結果、答えと違ってしまった・・・ということですね。 ＞確かに、それぞれを区別しなければ、この解答になるのはわかります。区別しない、という発想がわかりませんでした。 それはですね。確率でなく、組み合わせだからですね。 もっと小さな数字で考えてみましょう。 今、ここに白球１個、黒球２個あります。 これを、３個順番に並べる並べ方は、何通りありますか？ ○●● ●○● ●●○ この３とおりだけですよね？ 3C1=3 ですから、３とおりだけになります。 黒球には区別はつけないですよね？ 白黒１黒２ であっても、白黒２黒１ であっても、 ○●● のように並んでいることには変わりはないですよね？ 実際、ハンバーガーが１個とチーズバーガーが２個あったとして、 それを並べなさい、というときに ハンバーガー、チーズバーガー、チーズバーガー のように並ぶのはそれだけで ハンバーガー、チーズバーガー１、チーズバーガー２ ハンバーガー、チーズバーガー２、チーズバーガー１ であるから、ハンバーガーが先頭にくるのは２とおりだ、ということはないですよね。 それと一緒で、「同じ種類のものを並べるときの並べ方」 は区別しないということです。この説明で参考になればいいのですが。
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こんにちは！ご回答どうもありがとうございました！お礼が遅くなりまして、大変申し訳ないです。皆様の詳しい回答のおかげで、理解することができました。ありがとうございました！
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