ユークリッド空間 原点

質問

ユークリッド空間にも原点は存在するのでしょうか？
ユークリッド変換は平行移動を含むためアフィン変換同様に原点はないと考えています。

線形変換とアフィン変換を対比した場合、スカラー倍の相似中心となる原点
が存在する点が大きな違いかと思いますがユークリッド空間もアフィン空間同様絶対的な原点はないと考えてよいでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

なんか・・・いっつも同じことを書いてる気がする
＃それも同じ人にという気がする．

なんで
「定義を書かない」
のですか？

「ユークリッド空間」とは何ですか？
「ユークリッド変換」とは何ですか？

あなたの採用している定義を明示してください．

こういう問題は定義が違えば当然回答も違うものだし，
Webなんかは
「分かる人が分かる人に向けてまとめている」
ことが多いので，読む人が理解力というか
リタラシーを持ってることを前提としいます．

数学は定義が全てといってもいいのです．
定義を明確に，いい加減な思い込みと解釈は厳禁です．

======================
R^n（実n次元数ベクトル空間）をユークリッド空間ということもあるわけで
この場合は，ぶっちゃけベクトル空間．

しかし，アファイン空間で付随するベクトル空間に内積がある場合を
ユークリッド空間というのであれば（例えばWikipediaにある「ユークリッド空間」の定義），
これには特定の原点なんぞは存在しない．

もちろん実n次元数ベクトル空間は
アファインであり，自然にユークリッドになるんだが
一般には絶対的な原点なんぞは存在しない．

だって，どこを基準にしたっていいんだから．

こんなことは定義を素直に理解すれば
定義そのままです．
そもそも「アファイン空間の原点」って何ですか？
何を持って「原点」と定めますか？
ちなみにこの「絶対的な原点」が定めようがなく
逆に「どこでも原点とみなせる」ってところが，
分かりにくいところでもありますが，だからこそ
現実の空間のモデルとなりうるのです．

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解しました。

質問の際、定義を明確にすることを心がけます。
定義は以前、教えて頂きましたので理解できています。

回答No.2

noname#152422

そう考えたければ、それでいいです。
無矛盾になるように自分で理論を構築すればいいでしょう。

法律の条文を解釈するかのごとく、「用語の正しい解釈はどれか？」と考えるのは数学ではなく哲学の領域です。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

muturajcp

ユークリッド空間アフィン空間のどちらにも
原点は存在します
R=(全実数)
R^3={(x,y,z)|x,y,z∈R}
とすると
R^3は
3次元ユークリッド空間となり、
3次元アフィン空間となり、
(0,0,0)∈R^3
となります。

ユークリッド変換は
ユークリッド空間からユークリッド空間への変換(写像)
アフィン変換は
アフィン空間からアフィン空間への変換(写像)
なので
「変換に原点はない」という言い方はしません。
「移動量0でない平行移動は、
ユークリッド変換であり、アフィン変換であって、
原点を原点でない点に平行移動する」といいます。

原点を相似中心とした0でないスカラー倍は
線形変換であり、アフィン変換でもあります。

原点でない点を相似中心とした0でないスカラー倍は
アフィン変換であるが、線形変換ではありません。

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。
以下のURLによれば、ユークリッド空間には絶対的な原点は存在しないと
記載されています。
http://ictmax.jpn.ph/mediawiki/index.php/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93

もちろん、ユークリッド空間もアフィン空間も座標系の原点を定めることは可能かと思いますが、この原点はどこで定義してもかまわない原点ではないのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。